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堆及其应用(一)

 预先掌握

 堆的定义

• 堆：是一种特殊的树形数据结构，通常指的是二叉堆，可以被看作一棵完全二叉树。堆的特点是每个节点的值都大于等于（对于最大堆）或小于等于（对于最小堆）其子节点的值。堆的根节点包含最大值（最大堆）或最小值（最小堆）。
• 用途：堆：主要用于实现优先队列，支持高效地从队列中提取最大或最小元素。堆还常用于堆排序算法中，该算法利用堆的性质实现了快速排序。此外，堆在带权任务调度、频率统计和数据压缩等领域也有重要应用。

 

"堆" 在计算机科学和日常生活中都有多种含义，但在这里我主要讨论它在计算机科学中的数据结构和算法中的应用。

堆（Heap） 是一种特殊的树形数据结构，通常是一个完全二叉树。堆有两个主要类型：

1. 最大堆（Max Heap）：在最大堆中，对于除了根以外的每个节点 i，都有 A[parent(i)] >= A[i]，其中 A 是包含堆元素的数组，parent(i) 是返回节点 i 的父节点索引的函数。这意味着根节点包含堆中的最大值。
2. 最小堆（Min Heap）：在最小堆中，对于除了根以外的每个节点 i，都有 A[parent(i)] <= A[i]。这意味着根节点包含堆中的最小值。

堆的一个重要特性是它们可以通过数组高效地实现，因为它们是完全二叉树。给定一个节点在数组中的索引 i（通常从 0 开始），其左子节点的索引是 2i+1，右子节点的索引是 2i+2，其父节点的索引是 (i-1)/2（在向下取整的情况下）。

堆的性质

 

 

 操作

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[【堆及其应用一】大根堆]

 

【算法分析】
用输入的 n 个数建立一个大根堆，然后 for 循环 从 1∼n 输出堆数组。

【参考代码】
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 1e5 + 9;
int heap[maxn], heap_size;
void put(int d) {
    int son, pa;
    heap[++heap_size] = d;//新增一个结点，值为d
    son = heap_size;
    while (son > 1) { //向上调整，使其满足大根堆的性质
        pa = son >> 1; //找到父节点
        if (heap[son] <= heap[pa]) break; //如果父节点的值大于等于儿子结点，调整完毕
        swap(heap[son], heap[pa]);  //向上调整
        son = pa;
    }
}

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        int x;
        cin >> x;
        put(x);
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++) cout << heap[i] << " ";
    return 0;
}

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【堆及其应用一】排序1

 

【算法分析】
建立一个大根堆，每次输出堆顶的元素，然后将堆顶元素删除（删除之后要调整堆使得满足大根堆的性质），这样就可以使得元素从大到小排序。

【参考代码】
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 1e5 + 9;
int heap[maxn], heap_size;
void put(int d) {
    int son, pa;
    heap[++heap_size] = d;//新增一个结点，值为d
    son = heap_size;
    while (son > 1) { //向上调整，使其满足大根堆的性质
        pa = son >> 1; //找到父节点
        if (heap[son] <= heap[pa]) break; //如果父节点的值大于等于儿子结点，调整完毕
        swap(heap[son], heap[pa]);  //向上调整
        son = pa;
    }
}
//返回堆顶的值，并删除堆顶
int get() {
    int pa, son, res;
    res = heap[1]; //存储堆顶的值
    heap[1] = heap[heap_size--]; //用最后一个元素覆盖堆顶，并把堆元素个数减一
    pa = 1;
    //向下调整
    while (pa * 2 <= heap_size) {
        son = pa * 2;
        if (son < heap_size && heap[son + 1] > heap[son]) son++;//找到存在的儿子中最大的一个
        if (heap[pa] >= heap[son]) break; //调整完毕
        swap(heap[pa], heap[son]);//向下调整
        pa = son;
    }
    return res;//返回堆顶的值
}
int main() {
    int n;
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        int x;
        cin >> x;
        put(x);
    }
    while (heap_size) {
        cout << get() << " ";
    }
    return 0;
}

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