什么是KNN算法
寻找未知分类数据的离它最近的n个已知数据，通过已知数据的分类来推断这个未知数据的分类
KNN的原理
步骤
- 计算距离（常用欧几里得距离或马氏距离）
- 升序排列（最近的排前面，最远的排后面）
- 取前K个
- 加权平均
K的选取（算法的核心）
K太大：导致分类模糊
K太小：受个例影响，波动较大
如何取K
靠经验或者慢慢尝试
均方根误差
实战应用
以一个癌症检测数据集为例
1. 载入数据
2. 打乱数据，分组，分为测试集和训练集
将2/3的数据作为训练数据，1/3的数据作为测试数据
3. KNN函数实现
- 计算距离（该测试数据与所有训练数据之间的距离），采用欧式距离计算（各项指标差的平方和再开方）
- 按照距离升序排序
- 取前K个
res2 = res[0:K] #此时K = 5
- 加权平均（距离小的权重大，距离大的权重小），先测得总距离，利用1-（该测试数据的距离/总距离）作为该测试数据的权重
4. 对测试数据进行测试输出准确率
利用准确数/总测试数据个数来计算准确率
5. 输出结果
6. 代码
import csv
#读取
import random
with open("Prostate_Cancer.csv","r") as file:
reader = csv.DictReader(file)
datas = [row for row in reader]
#分组，分为训练集和测试集
random.shuffle(datas)
n = len(datas) // 3
test_set = datas[0:n]
train_set = datas[n:]
#KNN
#距离
def distance(d1,d2):
res = 0
for key in ("radius","texture","perimeter","area","smoothness","compactness","symmetry","fractal_dimension"):
res += (float(d1[key]) - float(d2[key])) ** 2
return res ** 0.5
K = 5
def KNN(data):
#1.距离
res = [
{"result":train["diagnosis_result"],"distance":distance(data,train)}
for train in train_set
]
#2.升序排序
res = sorted(res,key=lambda item:item["distance"])
#3.取前K个
res2 = res[0:K]
#4.加权平均
result = {'B':0,'M':0}
#总距离
sum = 0
for r in res2:
sum += r["distance"]
#计算权重
for r in res2:
result[r["result"]] += 1-r["distance"]/sum
#结果
if result['B'] > result['M']:
return 'B'
else:
return 'M'
#测试
correct = 0
for test in test_set:
result = test["diagnosis_result"]
result2 = KNN(test)
if result == result2:
correct += 1
print("准确率：{:.2f}%".format(100 * correct / len(test_set)))
什么是SVM算法
SVM（support vector machine）支持向量机，是一个有监督的学习模型，通常用来进行模式识别、分类(异常值检测)以及回归分析。
Hard margin
将两类通过一个阈值而分类开，对于二维来说就是找一条线，三维找一个面，多维找一个超平面
Hard margin:距离超平面最近的点的间隔最大
最优线：
在SVM中最优分割面(超平面)就是：能使支持向量和超平面最小距离的最大值
在样本空间中，划分超平面可通过一个线性方程来描述： $$ \omega ^ Tx + b = 0 $$ 其中$\omega$=（$\omega_1$;$\omega_2$;...;$\omega_3$）为法向量，决定了超平面的方向，b为位移项，决定了超平面与原点之间的距离，划分超平面可被法向量$\omega$和位移b确定
样本空间中任意一点x到超平面（$\omega$，b）的距离可写为
若超平面对应方程为$\omega ^ Tx + b = 0$
若超平面能够将训练样本正确分类，对于任意（$x_i$，$y_i$），若$y_i$ = +1，则有$\omega ^ Tx_i + b > 0$；若$y_i$ = -1，则有$\omega ^ Tx_i + b < 0$
、
距离超平面最近的这几个训练样本点使得上式成立，它们被称为"支持向量"（support vector）,两个异类支持向量到超平面的距离之和为
、
它们被称为“间隔”(margin)
求最大间隔，也就是要找在满足参数$\omega$和b（$y_i（\omega ^ Tx_i + b） >= 1$）的同时，使得$\gamma$最大
通过转化：
在满足参数$\omega$和b（$y_i（\omega ^ Tx_i + b） >= 1$）的同时，使得$\omega^2/2$最小
求解：拉格朗日乘子法
拉格朗日乘子法
假如有方程：
$x^2y=3$
图像：
求其上的点与原点的最小距离
即梯度向量平行，用数学符号表示：
因此：
也就是函数f在g的约束下的极值问题可表示为：
可列出方程求解：
这就是拉格朗日乘子法
类似地：如果有多个约束条件
即可求得解
以上在高等数学拉格朗日求极值有详解
KKT条件
Soft Margin
在Hard margin的基础上允许有一点错误（loss）
采用Soft Margin可以防止过拟合
折页损失（high loss）
一般当z<1时分类错误，允许有一点损失，loss=1-yi(wTxi + b) 当z>=1时分类正确，loss = 0
线性分类：
一般地像一维、二维、三维这些可以通过阈值、直线、平面或超平面就能将数据划分的被称为线性分类
非线性分类
数据大多数情况都不可能是线性的，那如何分割非线性数据呢？
方法就是将数据处理后放到更高的维度上进行分割：
当f(x)=x时，这组数据是个直线，如上半部分，但是当我把这组数据变为f(x)=x^2时，这组数据就变成了下半部分的样子，也就可以被红线所分割。
比如说，我这里有一组三维的数据X=（x1,x2,x3），线性不可分割，因此我需要将他转换到六维空间去。因此我们可以假设六个维度分别是：x1,x2,x3,x1^2,x1x2,x1x3，当然还能继续展开，但是六维的话这样就足够了。 新的决策超平面：d(Z)=WZ+b，解出W和b后带入方程，因此这组数据的超平面应该是：d(Z)=w1x1+w2x2+w3x3+w4*x1^2+w5x1x2+w6x1x3+b但是又有个新问题，转换高纬度一般是以内积（dot product）的方式进行的，但是内积的算法复杂度非常大。
几种常用核函数：
- h度多项式核函数（Polynomial Kernel of Degree h）
- 高斯径向基和函数（Gaussian radial basis function Kernel）
- S型核函数（Sigmoid function Kernel）
图像分类，通常使用高斯径向基和函数，因为分类较为平滑，文字不适用高斯径向基和函数。没有标准的答案，可以尝试各种核函数，根据精确度判定。
SVM与其他机器学习算法对比
SVM算法具有以下特征：
- SVM可以表示为凸优化问题，因此可以利用已知的有效算法发现目标函数的全局最小值。而其他分类方法都采用一种基于贪心学习的策略来搜索假设空间，这种方法一般只能获得局部最优解。
- SVM通过最大化决策边界的边缘来实现控制模型的能力。尽管如此，用户必须提供其他参数，如使用核函数类型和引入松弛变量等。
- SVM一般只能用在二类问题，对于多类问题效果不好。
四种核函数的分类效果（代码）
from sklearn import svm
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# 设置子图数量
fig, axes = plt.subplots(nrows=2, ncols=2, figsize=(7, 7))
ax0, ax1, ax2, ax3 = axes.flatten()
# 准备训练样本
x = [[1, 8], [3, 20], [1, 15], [3, 35], [5, 35], [4, 40], [7, 80], [6, 49]]
y = [1, 1, -1, -1, 1, -1, -1, 1]
# 设置子图的标题
titles = ['LinearSVC (linear kernel)',
'SVC with polynomial (degree 3) kernel',
'SVC with RBF kernel', # 这个是默认的
'SVC with Sigmoid kernel']
# 生成随机试验数据(15行2列)
rdm_arr = np.random.randint(1, 15, size=(15, 2))
def drawPoint(ax, clf, tn):
# 绘制样本点
for i in x:
ax.set_title(titles[tn])
res = clf.predict(np.array(i).reshape(1, -1))
if res > 0:
ax.scatter(i[0], i[1], c='r', marker='*')
else:
ax.scatter(i[0], i[1], c='g', marker='*')
# 绘制实验点
for i in rdm_arr:
res = clf.predict(np.array(i).reshape(1, -1))
if res > 0:
ax.scatter(i[0], i[1], c='r', marker='.')
else:
ax.scatter(i[0], i[1], c='g', marker='.')
if __name__ == "__main__":
# 选择核函数
for n in range(0, 4):
if n == 0:
clf = svm.SVC(kernel='linear').fit(x, y)
drawPoint(ax0, clf, 0)
elif n == 1:
clf = svm.SVC(kernel='poly', degree=3).fit(x, y)
drawPoint(ax1, clf, 1)
elif n == 2:
clf = svm.SVC(kernel='rbf').fit(x, y)
drawPoint(ax2, clf, 2)
else:
clf = svm.SVC(kernel='sigmoid').fit(x, y)
drawPoint(ax3, clf, 3)
plt.show()
结果：
注意：
核函数(这里简单介绍了sklearn中svm的四个核函数，还有precomputed及自定义的)
- LinearSVC：主要用于线性可分的情形。参数少，速度快，对于一般数据，分类效果已经很理想
- RBF:主要用于线性不可分的情形。参数多，分类结果非常依赖于参数
- polynomial:多项式函数,degree 表示多项式的程度-----支持非线性分类
- Sigmoid：在生物学中常见的S型的函数，也称为S型生长曲线