100道面试必会算法-09-最大子数组和（初探动态规划）
题目
一个整数数组 nums ，请你找出一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。子数组是数组中的一个连续部分。
示例 1：
输入：nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
输出：6
解释：连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6 。
示例 2：
输入：nums = [1]
输出：1
示例 3：
输入：nums = [5,4,-1,7,8]
输出：23
解题思路
传送门：https://leetcode.cn/problems/maximum-subarray/solutions/9058/dong-tai-gui-hua-fen-zhi-fa-python-dai-ma-java-dai/
关键 1：理解题意
题目要我们找出和最大的连续子数组的值是多少，「连续」是关键字，连续很重要，不是子序列。
题目只要求返回结果，不要求得到最大的连续子数组是哪一个。这样的问题通常可以使用「动态规划」解决。
关键 2：如何定义子问题（如何定义状态）
设计状态思路：把不确定的因素确定下来，进而把子问题定义清楚，把子问题定义得简单。动态规划的思想通过解决了一个一个简单的问题，进而把简单的问题的解组成了复杂的问题的解。
我们不知道和最大的连续子数组一定会选哪一个数，那么我们可以求出所有经过输入数组的某一个数的连续子数组的最大和。
例如，示例 1 输入数组是 [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4] ，我们可以求出以下子问题：
- 子问题 1：经过
-2的连续子数组的最大和是多少； - 子问题 2：经过
1的连续子数组的最大和是多少； - 子问题 3：经过
-3的连续子数组的最大和是多少； - 子问题 4：经过
4的连续子数组的最大和是多少； - 子问题 5：经过
-1的连续子数组的最大和是多少； - 子问题 6：经过
2的连续子数组的最大和是多少； - 子问题 7：经过
1的连续子数组的最大和是多少； - 子问题 8：经过
-5的连续子数组的最大和是多少； - 子问题 9：经过
4的连续子数组的最大和是多少。
一共 9 个子问题，这些子问题之间的联系并没有那么好看出来，这是因为子问题的描述还有不确定的地方（这件事情叫做「有后效性」，我们在本文的最后会讲解什么是「无后效性」）。
例如「子问题 3」：经过 -3 的连续子数组的最大和是多少。
「经过 -3 的连续子数组」我们任意举出几个：
[-2,1,-3,4]，-3是这个连续子数组的第 3 个元素；[1,-3,4,-1]，-3是这个连续子数组的第 2 个元素； ……
我们不确定的是：-3 是连续子数组的第几个元素。那么我们就把 -3 定义成连续子数组的最后一个元素。在新的定义下，我们列出子问题如下：
- 子问题 1：以
-2结尾的连续子数组的最大和是多少； - 子问题 2：以
1结尾的连续子数组的最大和是多少； - 子问题 3：以
-3结尾的连续子数组的最大和是多少； - 子问题 4：以
4结尾的连续子数组的最大和是多少； - 子问题 5：以
-1结尾的连续子数组的最大和是多少； - 子问题 6：以
2结尾的连续子数组的最大和是多少； - 子问题 7：以
1结尾的连续子数组的最大和是多少； - 子问题 8：以
-5结尾的连续子数组的最大和是多少； - 子问题 9：以
4结尾的连续子数组的最大和是多少。
我们加上了「结尾的」，这些子问题之间就有了联系。我们单独看子问题 1 和子问题 2：
- 子问题 1：以 -2结尾的连续子数组的最大和是多少；
- 以
-2结尾的连续子数组是[-2]，因此最大和就是-2。
- 以
- 子问题 2：以 1结尾的连续子数组的最大和是多少；
- 以
1结尾的连续子数组有[-2,1]和[1]，其中[-2,1]就是在「子问题 1」的后面加上1得到。-2+1=-1<1，因此「子问题 2」的答案是1。
- 以
大家发现了吗，如果编号为 i 的子问题的结果是负数或者 0 ，那么编号为 i + 1 的子问题就可以把编号为 i 的子问题的结果舍弃掉（这里 i 为整数，最小值为 1，最大值为 8），这是因为：
- 一个数
a加上负数的结果比a更小； - 一个数
a加上0的结果不会比a更大；
而子问题的定义必须以一个数结尾，因此如果子问题 i的结果是负数或者 0 ，那么子问题 i + 1 的答案就是以 nums[i] 结尾的那个数。
因为我们把子问题定义得更清楚，子问题之间的联系就容易观察到。这是我们定义子问题、定义状态的经验。
接下来我们按照编写动态规划题解的步骤，把「状态定义」「状态转移方程」「初始化」「输出」「是否可以空间优化」全都写出来。
定义状态（定义子问题）
dp[i]：表示以 nums[i] 结尾的连续子数组的最大和。
说明：「结尾」和「连续」是关键字。
状态转移方程（描述子问题之间的联系）
根据状态的定义，由于 nums[i] 一定会被选取，并且以 nums[i] 结尾的连续子数组与以 nums[i - 1] 结尾的连续子数组只相差一个元素 nums[i]。
假设数组 nums 的值全都严格大于 0 ，那么一定有 dp[i] = dp[i - 1] + nums[i]。
可是 dp[i - 1] 有可能是负数，于是分类讨论：
- 如果
dp[i - 1] > 0，那么可以把nums[i]直接接在dp[i - 1]表示的那个数组的后面，得到和更大的连续子数组； - 如果
dp[i - 1] ≤ 0，那么nums[i]加上前面的数dp[i - 1]以后值不会变大。于是dp[i]「另起炉灶」，此时单独的一个nums[i]的值，就是dp[i]。
以上两种情况的最大值就是 dp[i] 的值，写出如下状态转移方程：
dp[i] = {
dp[i - 1] + nums[i],if dp[i - 1] > 0
nums[i], if dp[i - 1] ≤ 0
}
记为「状态转移方程 1」。
状态转移方程还可以这样写，反正求的是最大值，也不用分类讨论了，就这两种情况，取最大即可，因此还可以写出状态转移方程如下：
dp[i] = max(nums[i], dp[i - 1] + nums[i])
记为「状态转移方程 2」。
思考初始值
dp[0] 根据定义，只有 1 个数，一定以 nums[0] 结尾，因此 dp[0] = nums[0]。
思考输出
注意：
-
这里状态的定义不是题目中的问题的定义，不能直接将最后一个状态返回回去；因为如果出现一个极大的负数，最大值是在前半部分的
这个问题的输出是把所有的
dp[0]、dp[1]、……、dp[n - 1]都看一遍，取最大值。
代码
理解版本
public class dp1 {
public int maxArray(int nums[]) {
int len = nums.length; // 获取数组长度
int[] dp = new int[len]; // 创建一个与原数组相同长度的数组，用于存储动态规划过程中的最大和
dp[0] = nums[0]; // 初始化动态规划数组的第一个值为原数组的第一个值
// 开始动态规划过程
for (int i = 1; i < len; i++) {
if (dp[i - 1] > 0) { // 如果前一个位置的最大和大于0
dp[i] = dp[i - 1] + nums[i]; // 则当前位置的最大和为前一个位置的最大和加上当前值
} else {
dp[i] = nums[i]; // 否则，当前位置的最大和为当前值本身
}
}
int ans = dp[0]; // 初始化最终结果为动态规划数组的第一个值
// 寻找动态规划数组中的最大值作为结果
for (int i = 1; i < len; i++) {
ans = Math.max(ans, dp[i]); // 更新最终结果为当前最大值与之前结果的较大值
}
return ans; // 返回最大连续子数组和
}
public static void main(String[] args) {
dp1 solution = new dp1();
int[] nums1 = {1, -2, 3, 10, -4, 7, 2, -5};
System.out.println("最大连续子数组的和为: " + solution.maxArray(nums1)); // 输出: 18 (从数组索引2到索引6的子数组和为18)
int[] nums2 = {-2, -3, -4, -1, -2, -1, -5, -3};
System.out.println("最大连续子数组的和为: " + solution.maxArray(nums2)); // 输出: -1 (单个元素的子数组最大和为-1)
int[] nums3 = {1, 2, 3, 4, 5};
System.out.println("最大连续子数组的和为: " + solution.maxArray(nums3)); // 输出: 15 (整个数组的和为15)
}
}
优化版本
public class Solution {
public int maxSubArray(int[] nums) {
int pre = 0;
int res = nums[0];
for (int num : nums) {
pre = Math.max(pre + num, num);
res = Math.max(res, pre);
}
return res;
}
}