数据结构与算法-图

标签：return int public 算法 vertexList 数据结构节点 isVisited

引言

在计算机科学领域，数据结构和算法是程序员工具箱中的两大瑰宝。其中，图（Graph） 是一种极其重要的非线性数据结构，它以节点和边的概念描述实体间复杂的关系网络。本文将对图的数据结构进行详尽解析，探讨其基本概念、操作以及实际应用场景。

一、什么是图？

图是由一组顶点（或称为节点）以及连接这些顶点的边构成的抽象数据类型。根据边的特性，图可以进一步分为无向图和有向图：

无向图 中每条边没有方向，表示两个顶点之间的关系是对称的。
有向图 中的边具有方向性，从一个顶点指向另一个顶点，表示单向依赖或流向关系。

此外，根据边是否有权重，又可将图划分为带权图和无权图。

二、图的基本操作

创建图：初始化图结构，包括创建空图、添加顶点和边等操作。
遍历图：主要有深度优先搜索（DFS）、广度优先搜索（BFS）两种方式，用于访问图中所有顶点或寻找特定路径。
查找路径：如Dijkstra算法求最短路径，Floyd-Warshall算法求任意两点间的最短路径，A*搜索算法在启发式指导下寻找最优路径等。
判断连通性：检查图中是否存在从一个顶点到另一个顶点的路径。
拓扑排序：对于有向无环图（DAG），按依赖关系进行排序。

三、图的应用场景

社交网络：用户之间的好友关系、关注关系可以用图来建模，便于进行好友推荐、社区发现等任务。
交通网络：地图上的道路系统、城市间航班或铁路线路可用图表示，方便计算最佳出行路线。
网页链接结构：互联网上的网页通过超链接形成巨大的有向图，搜索引擎正是利用此结构进行网页抓取和排名计算（PageRank算法）。
电路设计：电路中的各个元件及其连接关系可以通过图来描绘，辅助分析电路功能及故障排查。
生物信息学：基因调控网络、蛋白质相互作用网络等复杂生物学系统也可用图来刻画。

四、图算法的实际应用案例

Google PageRank：使用有向有权图模型量化网页的重要性，并据此优化搜索结果排序。
Facebook的朋友推荐系统：基于社交网络图构建算法，实现朋友推荐功能。
GPS导航系统：采用图数据结构处理地理信息，实时规划出最优行驶路径。

五、图的代码实践

1.创建图（邻接矩阵）

public class Graph {

    private ArrayList<String> vertexList;   //存储定点的集合
    private int[][] edges;     //存储图对应的领接矩阵
    private int numOfEdges;    //边的数目

    public static void main(String[] args) {
        int n = 5;
        String[] vertexs = {"A", "B", "C", "D", "E"};
        Graph graph = new Graph(n);
        for (String vertex : vertexs) {
            graph.addVertex(vertex);
        }
        graph.addEdge(0, 1, 1);
        graph.addEdge(0, 2, 1);
        graph.addEdge(1, 2, 1);
        graph.addEdge(1, 3, 1);
        graph.addEdge(1, 4, 1);

        graph.show();
    }

    public Graph(int n) {
        edges = new int[n][n];
        vertexList = new ArrayList<String>(n);
        numOfEdges = 0;
    }

    //    添加定点
    public void addVertex(String vertex) {
        vertexList.add(vertex);
    }

    //    返回下标对应数据
    public String getValueByIndex(int i) {
        return vertexList.get(i);
    }

    //    返回下标对应数据
    public String getValueByIndex(int i) {
        return vertexList.get(i);
    }

//    添加边

    /**
     * @param v1     顶点的下标
     * @param v2     顶点的下标
     * @param weight 权值
     */
    public void addEdge(int v1, int v2, int weight) {
        edges[v1][v2] = weight;
        edges[v2][v1] = weight;
        numOfEdges++;
    }

    //    得到边的数目
    public int getNumOfEdges() {
        return numOfEdges;
    }

    //    得到边的权值
    public int getWeight(int v1, int v2) {
        return edges[v1][v2];
    }

    //    展示图的邻接矩阵
    public void show() {
        for (int[] edge : edges) {
            System.out.println(Arrays.toString(edge));
        }
    }
}

2.图的邻接矩阵结果

3.图的深度优先遍历

思路：

1.访问初始节点v，并标记节点v已访问

2.查找节点v的第一个邻接节点w

3.若w存在，则继续执行4，若其不存在，则回到1，将从v的下一个节点继续

4.若w未被访问，对w进行深度优先遍历递归（即把w当做另一个v,然后进行123）

5.查找节点v的w邻接节点的下一个邻接节点，在进行步骤3

代码

1，辅助方法

    //    得到第一个邻接节点的下标w

    /**
     * @param index
     * @return 如果存在返回对应下标，否则-1
     */
    public int getFirstNeighbor(int index) {
        for (int j = 0; j < vertexList.size(); j++) {
            if (edges[index][j] > 0) {
                return j;
            }
        }
        return -1;
    }

    //    根据前一个邻接接节点的下标获取下一个邻接节点
    public int getNextNeighbor(int v1, int v2) {
        for (int j = v2 + 1; j < vertexList.size(); j++) {
            if (edges[v1][j] > 0) {
                return j;
            }
        }
        return -1;
    }

2.dfs算法

    //    深度优先遍历算法
    private void dfs(boolean[] isVisited, int i) {
//        首先访问该节点
        System.out.print(getValueByIndex(i) + "->");
//        访问了给他设置访问
        isVisited[i] = true;
//        查找i节点第一个邻接节点w
        int w = getFirstNeighbor(i);
        while (w != -1) {
            if (!isVisited[w]) {
                dfs(isVisited, w);
            }
//            如果w已经被访问
            w = getNextNeighbor(i, w);
        }
    }

    //    对dfs进行一个重载遍历所有的节点
    public void dfs() {
        isVisited = new boolean[5];
        for (int i = 0; i < vertexList.size(); i++) {
            if (!isVisited[i]) {
                dfs(isVisited, i);
            }
        }
    }

4.图的广度优先

思路：

1.访问初始节点v，并标记节点v已访问

2.节点v入队列

3.当队列非空时，继续执行，否则算法结束

4.出队列，取得队列头结点u

5.查找节点u的第一个邻接节点w

6.若w不存在，则进行步骤3，否则循环执行下三个步骤

6.1若w未被访问，则访问节点w并标记已访问

6.2节点w入队列

6.3查找u的继w邻接节点后的下一个邻接节点w,再进行步骤6

代码

1.bfs算法

//    对一个节点进行广度优先遍历
    public void bfs(boolean[] isVisited, int i) {
        int u; //表示队列的头结点对应的下标
        int w; //邻接节点
//        队列，记录节点访问的顺序
        LinkedList queue = new LinkedList();
        System.out.print(getValueByIndex(i) + "->");
        isVisited[i] = true;
        queue.addLast(i);
        while (!queue.isEmpty()) {
            u = (Integer)queue.removeFirst();
            w = getFirstNeighbor(u);
            while (w != -1) {
                if (!isVisited[w]) {
                    System.out.print(getValueByIndex(w) + "->");
                    isVisited[w] = true;
                    queue.addLast(w);
                }
                w = getNextNeighbor(u, w);
            }
        }
    }

//    遍历所有的节点广度优先
    public void bfs() {
        isVisited = new boolean[5];
        for (int i = 0; i < vertexList.size(); i++) {
            if (!isVisited[i]) {
                bfs(isVisited, i);
            }
        }
    }

5.dfs和bfs代码运行结果

六、总结

图作为复杂网络关系的有效模型，在现代计算机科学中扮演着至关重要的角色。理解并熟练掌握图相关的数据结构与算法，不仅能帮助我们解决众多实际问题，更能提升我们在复杂系统分析和设计方面的综合能力。无论是理论研究还是软件开发实践，图都是每一位计算机科学家和技术开发者必须掌握的核心知识点。

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