leetcode——数组算法——前缀和构建和应用
前缀和技巧适用于快速、频繁地计算一个索引区间内的元素之和
303. 区域和检索 - 数组不可变
比如leetcode 303. 区域和(检索 - 数组不可变)
题目介绍：
给定一个整数数组 nums，处理以下类型的多个查询:
- 计算索引
left和right（包含left和right）之间的nums元素的 和 ，其中left <= right
实现 NumArray 类：
NumArray(int[] nums)使用数组nums初始化对象int sumRange(int i, int j)返回数组nums中索引left和right之间的元素的 总和 ，包含left和right两点（也就是nums[left] + nums[left + 1] + ... + nums[right])
示例 1：
输入：
["NumArray", "sumRange", "sumRange", "sumRange"]
[[[-2, 0, 3, -5, 2, -1]], [0, 2], [2, 5], [0, 5]]
输出：
[null, 1, -1, -3]
解释：
NumArray numArray = new NumArray([-2, 0, 3, -5, 2, -1]);
numArray.sumRange(0, 2); // return 1 ((-2) + 0 + 3)
numArray.sumRange(2, 5); // return -1 (3 + (-5) + 2 + (-1))
numArray.sumRange(0, 5); // return -3 ((-2) + 0 + 3 + (-5) + 2 + (-1))
解法一：
1.在sumRange里面，for循环从left到right遍历nums，用一个变量记录。
代码如下：
class NumArray {
//类里肯定有一个int[]成员
private int[] myArray;
public NumArray(int[] nums) {
this.myArray=nums;
}
public int sumRange(int left, int right) {
int result=0;
if(left>right||left<0||right>myArray.length){
return 0;
}
//myArray[left]一直加到myArray[right]
for(int i=left;i<=right;i++){
result+=myArray[i];
}
return result;
}
}
如果多次调用sumRange，会一直重复计算。
解法2
2.在构造函数中，构造一个关于nums的前缀和数组preNums，preNums[i]的值就是nums前i项的和。
Q：如何构造这个前缀和数组？
A：前缀和数组的每一项 = 前一项（前i-1项的和）+ nums[i]。
注意：因为前缀和数组的表达意义应该是前1项的和，前2项的和；而没有个前0项的和。
所以这里将preNum[0]=0；目的是更符合我们的表达语义。
比如preNum[1]就是nums前1项的和。
代码如下：
class NumArray {
public int[] getPreArray() {
return preArray;
}
//记录一个前缀和数组，避免sumRange重复的for
private int[] preArray;
public NumArray(int[] nums) {
preArray = new int[nums.length + 1];
// 计算 nums 的累加和
for (int i = 1; i < preArray.length; i++) {
preArray[i] = preArray[i - 1] + nums[i - 1];
}
}
public int sumRange(int left, int right) {
int result=preArray[right+1]-preArray[left];
return result;
}
}
304. 二维区域和检索 - 矩阵不可变
如果是二维数组的前缀和如何构建和使用呢？
比如leetcode 304. 二维区域和检索 - 矩阵不可变
给定一个二维矩阵 matrix，以下类型的多个请求：
- 计算其子矩形范围内元素的总和，该子矩阵的 左上角 为
(row1, col1)，右下角 为(row2, col2)。
实现 NumMatrix 类：
NumMatrix(int[][] matrix)给定整数矩阵matrix进行初始化int sumRegion(int row1, int col1, int row2, int col2)返回 左上角(row1, col1)、右下角(row2, col2)所描述的子矩阵的元素 总和 。
示例 1：
输入:
["NumMatrix","sumRegion","sumRegion","sumRegion"]
[[[[3,0,1,4,2],[5,6,3,2,1],[1,2,0,1,5],[4,1,0,1,7],[1,0,3,0,5]]],[2,1,4,3],[1,1,2,2],[1,2,2,4]]
输出:
[null, 8, 11, 12]
解释:
NumMatrix numMatrix = new NumMatrix([[3,0,1,4,2],[5,6,3,2,1],[1,2,0,1,5],[4,1,0,1,7],[1,0,3,0,5]]);
numMatrix.sumRegion(2, 1, 4, 3); // return 8 (红色矩形框的元素总和)
numMatrix.sumRegion(1, 1, 2, 2); // return 11 (绿色矩形框的元素总和)
numMatrix.sumRegion(1, 2, 2, 4); // return 12 (蓝色矩形框的元素总和)
如果本题继续双for循环，开销很大，如果sumRegion使用频繁，则可以使用一个前缀和数组存储NumMatrix前i行前j列的和。
核心
Q：二维数组的前缀和如何构建呢？
A：行列的length各+1，然后找规律：左面的+上面的+自己-左对角线的
Q：规律怎么找的？
A：比如上图中的matrix(2)(2)，它值为0；现在要计算前3行前3列的前缀和。
注意它左边的2和上面的3，如果让他俩各自位置的前缀和相加，然后再减去对角线的6位置的前缀和，就是0位置的前缀和。
如下图所示（可以好好屡屡）：
代码如下：
class NumMatrix {
public int[][] getPreMatrix() {
return preMatrix;
}
private int[][] preMatrix;
public NumMatrix(int[][] matrix) {
preMatrix=new int[matrix.length+1][matrix[0].length+1];
//构建 二维前缀和数组
for(int i=1;i< preMatrix.length;i++){
for (int j = 1; j < preMatrix[0].length; j++) {
//找规律
//左面的+上面的+自己-左对角线的
preMatrix[i][j]=preMatrix[i][j-1]+preMatrix[i-1][j]+matrix[i-1][j-1]-preMatrix[i-1][j-1];
}
}
}
public int sumRegion(int row1, int col1, int row2, int col2) {
return preMatrix[row2+1][col2+1] - preMatrix[row1][col2+1] - preMatrix[row2+1][col1] + preMatrix[row1][col1];
}
public static void main(String[] args) {
int[][] matrix = {
{3, 0, 1, 4, 2},
{5, 6, 3, 2, 1},
{1, 2, 0, 1, 5},
{4, 1, 0, 1, 7},
{1, 0, 3, 0, 5}
};
NumMatrix numMatrix = new NumMatrix(matrix);
System.out.println(Arrays.deepToString(numMatrix.getPreMatrix()));
System.out.println(numMatrix.sumRegion(2, 1, 4, 3));
}
}