算法：如何实现大整数相加？

算法题：给你两个很大很大的整数（如100位整数），如何求出它们的和？

思路：小学数学竖式拆分，各个击破。

在程序中列出的 “竖式” 究竟是什么样子呢？我们以 426709752318 + 95481253129 为例，来看看大整数相加的详细步骤：

第一步，把整数倒序存储，整数的个位存于数组0下标位置，最高位存于数组长度-1下标位置。之所以倒序存储，更加符合我们从左到右访问数组的习惯。

第二步，创建结果数组，结果数组的最大长度是较大整数的位数+1，原因很明显。

第三步，遍历两个数组，从左到右按照对应下标把元素两两相加，就像小学生计算竖式一样。

第二组相加的是数组A的第2个元素1和数组B的第2个元素2，结果是3，再加上刚才的进位1，把4填充到Result数组的对应下标：

以此类推......一直把数组的所有元素都相加完毕：

第四步，把Result数组的全部元素再次逆序，去掉首位的，就是最终结果：

PHP版本代码如下：

/**
*大整数求和
*@param$bigNumberA 大整数Astring
*@param$bigNumberB 大整数Bstring
*/
function bigNumberSum($bigNumberA,$bigNumberB){	 
	//字符串逆转，拆分为数组
	$arrA = $arrB = array();
	$lenA = strlen($bigNumberA);
	for($i=0;$i<$lenA;$i++){
		$arrA[$i] = $bigNumberA[$lenA-$i-1];		
	}
	$lenB = strlen($bigNumberB);
	for($i=0;$i<$lenB;$i++){
		$arrB[$i] = $bigNumberB[$lenB-$i-1];
	}	
	//1.把两个大整数用数组逆序存储，数组长度等于较大整数位数+1
	$maxLength = ($lenA >= $lenB) ? $lenA : $lenB;
	$maxLength +=1;	
	//2.构建result数组，数组长度等于较大整数位数+1，
	$arrSum = array();
	for($i=0;$i<$maxLength;$i++){
		$arrSum[$i] = 0;
	}
	//3.遍历数组，按位相加
	for($i=0;$i<$maxLength;$i++){
		//$arrA,$arrB 数组个数不够补0；
		if(!isset($arrA[$i])){
			$arrA[$i] = 0;
		}
		if(!isset($arrB[$i])){
			$arrB[$i] = 0;
		}
		$temp = $arrSum[$i];
		$temp += $arrA[$i]+$arrB[$i];
		//判断是否进位
		if($temp >= 10){
			$temp = $temp-10;
			$arrSum[$i] = $temp;
			$arrSum[$i+1] = 1;
		}else{
			$arrSum[$i] = $temp;
		}
	}
	//var_dump($arrSum);
	//4.把result数组再次逆序并转成String
	$strSum = '';
	for($i=0;$i<$maxLength;$i++){
		$strSum .= $arrSum[$maxLength-$i-1];
	}
	return ltrim($strSum,'0');   //去前导0
}
 
echo bigNumberSum('426709752318','95481253129');

时间复杂度：O(n)；

如何优化呢？

我们之前是把大整数按照每一个十进制数位来拆分，比如较大整数的长度有50位，那么我们需要创建一个51位的数组，数组的每个元素存储其中一位。

我们真的有必要把原整数拆分得那么细吗？显然不需要，只需要拆分到可以被直接计算的程度就够了。

int类型的取值范围是 -2147483648——2147483647，最多有10位整数。为了防止溢出，我们可以把大整数的每9位作为数组的一个元素，进行加法运算。（这里也可以使用long类型来拆分，按照int范围拆分仅仅是提供一个思路）

如此一来，占用空间和运算次数，都被压缩了9倍