机器学习算法原理实现——EM算法

【EM算法简介】

EM算法，全称为期望最大化算法（Expectation-Maximization Algorithm），是一种迭代优化算法，主要用于含有隐变量的概率模型参数的估计。EM算法的基本思想是：如果给定模型的参数，那么可以根据模型计算出隐变量的期望值；反过来，如果给定隐变量的值，那么可以通过最大化似然函数来估计模型的参数。EM算法就是通过交替进行这两步来找到参数的最大似然估计。

EM算法的基本步骤如下：

1. 初始化模型参数
2. E步：计算隐变量的期望值
3. M步：最大化似然函数，更新模型参数
4. 重复步骤2和3，直到模型参数收敛

【EM算法举例】

K-means算法可以被看作是一种特殊的EM算法。在K-means算法中，我们试图找到一种方式将数据点分配到K个集群中，使得每个数据点到其所在集群中心的距离之和最小。

如果我们将集群分配看作是隐变量，那么K-means算法就可以看作是EM算法：

1. E步：期望步骤。给定当前的集群中心（模型参数），我们可以计算每个数据点最近的集群中心，也就是将每个数据点分配到一个集群中。这个步骤就是计算隐变量的期望值。

2. M步：最大化步骤。给定当前的集群分配（隐变量的值），我们可以计算新的集群中心，也就是每个集群中所有数据点的均值。这个步骤就是最大化似然函数，更新模型参数。

通过交替进行E步和M步，K-means算法可以找到一种集群分配和集群中心，使得每个数据点到其所在集群中心的距离之和最小。这就是K-means算法使用EM算法的地方。

【再举一个例子】

见：https://zhuanlan.zhihu.com/p/78311644 写得非常好，关键摘录如下：

【python编程实现】

import math
import random

def coin_em(rolls, theta_A=None, theta_B=None, maxiter=10000, tol=1e-6):
    # 初始化参数
    theta_A = theta_A or random.random()
    theta_B = theta_B or random.random()
    loglike_old = 0
    for i in range(maxiter):
        # E步
        heads_A, tails_A, heads_B, tails_B = e_step(rolls, theta_A, theta_B)
        # M步
        theta_A, theta_B = m_step(heads_A, tails_A, heads_B, tails_B)
        # 计算对数似然
        loglike_new = loglikelihood(rolls, theta_A, theta_B)
        # 检查收敛
        if abs(loglike_new - loglike_old) < tol:
            break
        else:
            loglike_old = loglike_new
    return theta_A, theta_B

def e_step(rolls, theta_A, theta_B):
    heads_A, tails_A, heads_B, tails_B = 0, 0, 0, 0
    for trial in rolls:
        likelihood_A = likelihood(trial, theta_A)
        likelihood_B = likelihood(trial, theta_B)
        p_A = likelihood_A / (likelihood_A + likelihood_B)
        p_B = 1 - p_A
        heads_A += p_A * trial.count("H")
        tails_A += p_A * trial.count("T")
        heads_B += p_B * trial.count("H")
        tails_B += p_B * trial.count("T")
    return heads_A, tails_A, heads_B, tails_B

def m_step(heads_A, tails_A, heads_B, tails_B):
    theta_A = heads_A / (heads_A + tails_A)
    theta_B = heads_B / (heads_B + tails_B)
    return theta_A, theta_B

def likelihood(roll, theta):
    numHeads = roll.count("H")
    flips = len(roll)
    return (theta**numHeads) * ((1-theta)**(flips-numHeads))

def loglikelihood(rolls, theta_A, theta_B):
    total = 0
    for roll in rolls:
        heads = roll.count("H")
        tails = roll.count("T")
        total += math.log(0.5 * likelihood(roll, theta_A) + 0.5 * likelihood(roll, theta_B))
    return total

# 测试
rolls = ["HTTTHHTHTH", "HHHHTHHHHH", "HTHHHHHTHH", "HTHTTTHHTT", "THHHTHHHTH"]
print(coin_em(rolls))

输出：

(0.7967659656145668, 0.5195829299707858)

和原始答案比较接近。