在本系列的文章中已经写了二叉树(Binary Tree)、深搜（DFS）与广搜（BFS）、哈希表（Hash Table）等等，计划接下来要写的是动态规划（Dynamic Programming，DP），它算得上是最灵活的一种算法。回忆笔者学习动态规划的时候，最开始接触的是经典的 “01背包” 问题；不过现在想起来，以“01背包问题”作为初次接触的动态规划算法的问题_并不友好_；花费了不少时间才慢慢感悟到动态规划算法的核心思想。
先前的文章中涉及了不少搜索算法，在搜索算法上融入动态规划算法思想的 记忆化搜索（Memorize Search）不妨是一个不错的_承前启后_的选择。相对于 “01背包”类问题，记忆化搜索 对初学者 理解 动态规划 更友好，也能更好的感受到其魅力所在。
记忆化搜索，所谓 “记忆” 引用 Geeksforgeeks 网站上介绍记忆搜索原文中一句话就是 “to transform the results of a function into something to remember.” 把函数的结果存储下来作为 “记忆”。将“记忆”应用于搜索算法上，也就是搜索到有记录了函数结果的地方，其实就不需要再进行函数计算，直接返回 “记忆” 的结果即可。
记忆化搜索是一种自顶向下（Top-Down）分析的算法，文字描述过于悬浮于理论，保持本系列文风且用算法题来看下记忆化搜索算法具体的内容。
自顶向下（Top-Down）
LeetCode 329. 矩阵中的最长递增路径【困难】
给定一个 m x n 整数矩阵 matrix ，找出其中 最长递增路径 的长度。
对于每个单元格，你可以往上，下，左，右四个方向移动。 你 不能 在 对角线 方向上移动或移动到 边界外。（即不允许环绕）。
- 直接顺着题意进行分析，找到 “最长递增路径” 直接用搜索遍历，把 matrix每个单元格的最长递增路径都计算下，返回其中最长的路径。不妨就假设下有一个 search的函数能够计算出 以当前单元格为起点的最长递增路径长度。遍历过程中 的最大长度 存储再 max 中，最后返回即可，代码如下：
// 假设中的函数
public int search(int[][] matrix,int x,int y){
int max;
return max;
}
public int longestIncreasingPath(int[][] matrix) {
int max = 0;
for (int i = 0; i < matrix.length; i++) {
for (int j = 0; j < matrix[0].length; j++) {
//（i，j）格的最长递增路径长度
max = Math.max(max,search(matrix,i,j));
}
}
return max;
}
- 问题开始关键点现在变成了 search 函数的实现；接着顺着题意分析，可以往上，下，左，右四个方向移动.首先考虑一个方向情况，只往上方向移动且可以往上移动（上方相邻的单元格大于当前单元格，递增），那么此时 当前单元格的最大路径长度就是
上方单元格的最大路径 + 1，其中1代表当前单元格。
public int search(int[][] matrix,int x,int y){
int number = matrix[x][y],up = 1;
// 保障可以往“上”移动， x-1 没有越边界（ x > 0 ）
// 且是 递增的 matrix[x-1][y] > number
if( x > 0 && matrix[x-1][y] > number ){
// 递归调用，同类子问题，（x-1，y）格的最长递增路径长度
up += search( matrix, x-1, y );
}
return up;
}
- 如此，扩展到 四个方向，最终当前单元格最大路径就是 四个方向中取最大的返回。
public int search(int[][] matrix,int x,int y){
int number = matrix[x][y],up = 1,down =1,left=1,right=1;
if(x>0 && matrix[x-1][y] > number){
up += search(matrix,x-1,y);
}
if(x+1<matrix.length && matrix[x+1][y] > number){
down += search(matrix,x+1,y);
}
if(y+1<matrix[0].length && matrix[x][y+1] > number){
right += search(matrix,x,y+1);
}
if(y>0 && matrix[x][y-1] > number){
left += search(matrix,x,y-1);
}
return Math.max(Math.max(up,down),Math.max(right,left));
}
-
实现到这里按照搜索思路的算法已经完成；不过会发现性能不高，分析过程会发现调用 search函数 时候，同样一格位置会计算多次。此时联系想想先前提到的 “记忆” ，把函数的结果存储下来作为 “记忆”，也就是用 一个二维数组 cahce 缓存起来 已经计算过单元的结果。
search 实现改为 (cache需要在 longestIncreasingPath 根据 matrx大小 new下，这里略) ，代码如下：
public int[][] cache = null;
public int search(int[][] matrix,int x,int y){
if(0 != cache[x][y])
return cache[x][y];
int number = matrix[x][y],up = 1,down =1,left=1,right=1;
if(x>0 && matrix[x-1][y] > number){
up += search(matrix,x-1,y);
}
if(x+1<matrix.length && matrix[x+1][y] > number){
down += search(matrix,x+1,y);
}
if(y+1<matrix[0].length && matrix[x][y+1] > number){
right += search(matrix,x,y+1);
}
if(y>0 && matrix[x][y-1] > number){
left += search(matrix,x,y-1);
}
// 存储 “记忆”
cache[x][y] = Math.max(Math.max(up,down),Math.max(right,left));
return cache[x][y];
}
- 到此，已经按照记忆化搜索算法思路完成了问题的解决。
回顾下记忆化搜索解题过程，我们是从算法问题出发 -> 分析需要完成的计算（子问题）-> 进一步进行解决。这其实就是 自顶向下（Top-Down）的思考方式。
记忆化搜索 与 动态规划
再来看"记忆"，cache[x][y] 所记录的是 x,y 这个单元格已经计算过的 最大路径长度。当前单元格 的最大路径长度使用上、下、左、右四个方向上的单元格 最大路径长度 来进行计算 ,使用"记忆" 其实就是在使用子问题的最优解。
current_max = Max( up+1, down+1, left+1, right+1 )
另外一个角度描述，规划决策 当前单元格的最大路径 是根据 （上、下、左、右）相邻四个方向上的单元格最大路径 进行的计算。相邻四个方向上的最大路径（子问题最优解） 并非一开始静态写入下来，而是在程序运行过程中至少计算一次存储下来，可看作 动态的计算。根据动态计算子问题最优结果来进行规划决策当前最优结果，也就是所谓 动态规划（Dynamic Programming）的字面意思。
可以多体会下： 解决最优化问题，根据子问题的最优结果 规划决策 -> 当前问题最优结果 -> 进而求解最初问题。
所以有一种说法就是：记忆化搜索 是 动态规划 自顶向下（Top-Down）分析的一种实现形式，通常用递归来实现。
最后总结本文
- 本系列文章中写此篇 承前启后的思考，记忆化搜索 的基本概念；
- 通过一道题演示 自顶向下（Top-Down）的分析，实际应用记忆化搜索解决 具体算法问题；
- 解读 记忆化搜索 与 动态规划 的关系，以及动态规划一些概念；
下一篇咱们再一起继续解读 动态规划（Dynamic Programming） ，欢迎关注 Java研究者专栏、博客、公众号等
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