AcWing 858. Prim算法求最小生成树

题目

给定一个 $n$ 个点 $m$ 条边的无向图，图中可能存在重边和自环，边权可能为负数。

求最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出 impossible。

给定一张边带权的无向图 $G=(V,E)$，其中 $V$ 表示图中点的集合，$E$ 表示图中边的集合，$n=|V|，m=|E|$。

由 $V$ 中的全部 $n$ 个顶点和 $E$ 中 $n−1$ 条边构成的无向连通子图被称为 $G$ 的一棵生成树，其中边的权值之和最小的生成树被称为无向图 $G$ 的最小生成树。

输入格式 第一行包含两个整数 $n$ 和 $m$。

接下来 $m$ 行，每行包含三个整数 $u,v,w$，表示点 $u$ 和点 $v$ 之间存在一条权值为 $w$ 的边。

输出格式 共一行，若存在最小生成树，则输出一个整数，表示最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出 impossible。

数据范围 $1≤n≤500,1≤m≤10^5$，图中涉及边的边权的绝对值均不超过 $10000$。

输入样例：

4 5
1 2 1
1 3 2
1 4 3
2 3 2
3 4 4

输出样例：

6

思路

朴素prim基本流程

初始化所有点的距离为正无穷
for i in 1~n 进行n次迭代
    找到集合外距离最近的点t（dijkstra算法为到起始点距离最近）
    用点t更新其他点到集合的距离，d[j] = min(d[j], w[t][j])
    st[t] = true  // 表示t已经确定最短路径

注意：用t点更新其他点距离时用 $w[t][j]$ 而不用 $d[t] + w[t][j]$，因为此时的 $d$ 数组存储的是某点到连通区域的最短距离，是会变化的，比如：

第一次确认 $1$ 号点，$d[3] = 40$，第二次确认 $2$ 号点时，$d[3]$ 可以缩小至 $20$。

代码

#include <cstring>
#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 510, INF = 0x3f3f3f3f;

int n, m;
int g[N][N];
int d[N];
bool st[N];


int prim()
{
    memset(d, 0x3f, sizeof d);
    
    int res = 0;
    for (int i = 0; i < n; i ++ )
    {
        int t = -1;
        for (int j = 1; j <= n; j ++ )
            if (!st[j] && (t == -1 || d[t] > d[j]))
                t = j;
        
        if (i && d[t] == INF) return INF;
        
        st[t] = true;
        if (i) res += d[t];  // 先加再更新，避免数据中自环情况改变d[t]
        
        for (int j = 1; j <= n; j ++ ) d[j] = min(d[j], g[t][j]);
    }
    
    return res;
}

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    memset(g, 0x3f, sizeof g);
    
    while (m -- )
    {
        int a, b, c;
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
        g[a][b] = min(g[a][b], c);
        g[b][a] = min(g[b][a], c);
    }
    
    int t = prim();
    if (t == INF) puts("impossible");
    else printf("%d\n", t);
    
    return 0;
}