Python 2-03 递推和递归

递推和递归

一、递推算法 Recursion method

递推算法是通过已知条件，利用特定关系得出中间推论，直至得到结果的算法。递推算法分为顺推和逆推两种。动态规划

1、顺推法

所谓顺推法是从已知条件出发，逐步推算出要解决的问题的方法叫顺推。

# n! 阶乘
def factorial(n):
    t = 1
    for i in range(1, n + 1):
        t *= i
    return t

print(factorial(4))

递推法，就是递增法，时间复杂度是 O(n)。

2、逆推法

逆推法是从已知问题的结果出发，用迭代表达式逐步推算出问题的开始的条件，即顺推法的逆过程，称为逆推。

年初准备一笔钱存入银行，保证每年年底取出 1000 元，到第 3 年刚好取完。假设银行一年整存零取月息为 0.31%，请问需存入银行多少钱？

假设第 3 年年初的银行存款为 x 元，则 x×(1+0.0031×12) = 1000，得 x = 1000/(1+0.0031×12)。同理可得前两年年初的银行存款，计算如下：
第 2 年年初的银行存款 = (第 3 年年初的银行存款+1000)/(1+0.0031×12)
第 1 年年初的银行存款 = (第2年年初的银行存款+1000)/(1+0.0031×12)

def foo():
    total = 0.0  # 从第三年年底倒推
    for _ in range(3):
        total = (total + 1000) / (1 + 0.0031 * 12)
    return total

print("第一次必须向银行存入%.2f元\n" % foo())

二、递归函数 recursion

1、递归算法

递归算法（recursion algorithm）是指一种通过重复将问题分解为同类的子问题而解决问题的方法。递归完全可以取代循环。

优点：结构层次很清晰，易于理解。
缺点：在调用的过程中，每一层调用都需要保存临时性变量和返回地址、传递参数，因此执行效率低，还有可能会造成栈溢出。

如果一个函数在内部调用了自身，这个函数就被称为递归函数。
注意，这里我加了Python的 @functools.lru_cache() ，他会缓存递归结果，避免重复计算从而加速递归实现。没有这个的话会超时。

# n! 阶乘函数：f(n) = n*f(n-1)
@functools.lru_cache() 
def factorial(n):
    return 1 if n == 0 else factorial(n - 1) * n

print(factorial(4))

执行过程：

factorial(4) 
factorial(3) * 4 
factorial(2) * 3 * 4 
factorial(1) * 2 * 3 * 4 
factorial(0) * 1 * 2 * 3 * 4 
1 * 1 * 2 * 3 * 4 
1 * 2 * 3 * 4 
2 * 3 * 4 
6 * 4 
24

写法最简洁，但是效率最低，会出现大量的重复计算，时间复杂度O（1.618^n），而且最深度1000。

使用递归函数需要注意防止递归深度溢出，在Python中，通常情况下，这个深度是1000层，超过将抛出异常。函数递归调用是通过栈（stack）实现的，每当进入一个递归时，栈就会加一层，每当函数返回一次，栈就会减一层。由于栈的大小不是无限的，所以，递归调用的次数过多，会导致栈溢出。

可以试试 factorial(999)：

RuntimeError: maximum recursion depth exceeded in comparison

2、尾递归

尾递归是指递归函数在调用自身时直接传递其状态值。在这些语言中尾部递归不会占用调用堆栈空间。

# 尾递归
def factorial(n, res=1):
    if n < 2:
        return res
    return factorial(n - 1, n * res)

print(factorial(4))

执行过程：

factorial(4, 1) 
factorial(3, 4) 
factorial(2, 12) 
factorial(1, 24) 
factorial(0, 24) 
24

factorial 函数在递归调用的时候是将状态保存在 res 这个变量中，不会产生一系列逐渐增多的中间变量。

尾递归就是把当前的运算结果（或路径）放在参数里传给下层函数，如果在递归函数中，递归调用返回的结果总被直接返回，则称为尾递归。

斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列、因数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardoda Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在数学上，斐波纳契数列以如下被以递归的方法定义：F(1)=1，F(2)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)（n>=2，n∈N*）

import time

def fib_recursion(num):
    '''
    直接使用递归法求解斐波那契数量的第 num 个数字
    '''
    if num <= 2:
        return 1
    return fib_recursion(num - 1) + fib_recursion(num - 2)

def fib_tail_recursion(num, res=0, temp=1):
    '''
    使用尾递归法求解斐波那契数量的第 num 个数字
    '''
    if num == 0:
        return res
    else:
        return fib_tail_recursion(num - 1, temp, res + temp)

def fib_loop(num):
    '''
    直接使用循环来求解
    '''
    a, b = 0, 1
    for i in range(1, num):
        a, b = b, a + b
        
    # return b
	# 生成器  
	yield b
	
if __name__ == '__main__':
    num_list = [5, 10, 20, 30, 40, 50]
    for num in num_list:
        start_time = time.time()
        print(fib_recursion(num))
        end_time = time.time()
        print(fib_tail_recursion(num))
        end_time2 = time.time()
        print(fib_loop(num))
        end_time3 = time.time()
        print('正在求解的斐波那契数字下标为 %s' % num)
        print('直接递归耗时为 ：', end_time - start_time)
        print('尾递归调用耗时为：', end_time2 - end_time)
        print('直接使用循环耗时为：', end_time3 - end_time2)

尾递归调用时，如果做了优化，栈不会增长，因此，无论多少次调用也不会导致栈溢出。

遗憾的是，大多数编程语言没有针对尾递归做优化，Python 解释器也没有做优化，所以，即使把上面的 fib_recursion(n) 函数改成尾递归方式，也会导致栈溢出。

递推与递归的比较

使用递推写法的计算方式是自底向上，即从边界开始，不断向上解决问题，直到解决了目标问题；
而使用递归写法的计算方式是自顶向下， 即从目标问题开始，将它分解成子问题的组合，直到分解至边界为止。
相对于递归算法，递推算法免除了数据进出栈的过程，也就是说，不需要函数不断的向边界值靠拢，而直接从边界出发，直到求出函数值。递推的效率要高一些，在可能的情况下应尽量使用递推。

练习爬楼梯

题目：一次只能爬一阶或者两阶台阶，求爬到 n 阶有多少种走法。

假定 n=10，要想到达第十级台阶，最后一步一定是从第八级或者第九级台阶开始。假设从地面到第八级台阶一共有 X 种走法，从地面到第九级台阶一共有 Y 种走法，那么从地面到第十级台阶一共有 X+Y 种走法。即 F(10) = F(9)+F(8)

和斐波那契数列比较看看有什么不同？

def climbStairs(x):
	if x <= 2:
		return x
	a, b = 1, 2
	for i in range(3, x + 1):
		a, b = b, a + b
	
	return b


if __name__ == '__main__':
    for i in range(20):
        print(climbStairs(i))

题目：一栋楼有N阶楼梯，兔子每次可以跳1、2或3阶，问一共有多少种走法？

# 递归法
def climbStairs(stairs):
     basic_num = {1:1,2:2,3:4} # 1、2、3 个台阶分别有 1、2、4 种方法
     if stairs in basic_num.keys():
         return basic_num[stairs]
     else:
     	# 从第四台阶开始，下一阶是前三阶的和。
         return climbStairs(stairs-1) + climbStairs(stairs-2) + climbStairs(stairs-3) 

# 递推法
def climbStairs(stairs):    
    basic_num = {1: 1, 2: 2, 3: 4}
    if stairs in basic_num.keys():
        return basic_num[stairs]
    else:
        h1, h2, h3, i = 1, 2, 4, 3
        while (i := i + 1) <= stairs:
            h1, h2, h3 = h2, h3, h1 + h2 + h3  # 从第四台阶开始，下一阶是前三阶的和。
        return h3

小结

遇到需要进行多层循环或者根本不清楚循环层数的场景，递归就很有用了，只要确定了终止条件和递归方程就可以实现遍历。

针对尾递归优化的语言可以通过尾递归防止栈溢出，尾递归事实上和循环是等价的。

Python标准的解释器没有针对尾递归做优化，任何递归函数都存在栈溢出的问题。

练习

汉诺塔(Hanoi)游戏相传出现在古印度圣庙中。游戏的规则是：

在一块铜板装置上，有三根编号分别为A、B、C 的杆，在A杆上按自下而上、由大到小按顺序放置着 64 个金盘，每次只能移动一个金盘，并且在移动过程中三根杆上都始终保持大盘在下、小盘在上，操作过程中盘子可以置于A、B、C任意一杆上，如何把A杆上的金盘全部移到C杆上？

请编写 move(n, a, b, c)函数，它接收参数n，表示3个柱子A、B、C中第1个柱子A的盘子数量，然后打印出把所有盘子从A借助B移动到C的方法，例如：

def move(n, a, b, c):
  if n == 1:
        print(a, '-->', c)

# 期待输出:
# A --> C
# A --> B
# C --> B
# A --> C
# B --> A
# B --> C
# A --> C

move(3, 'A', 'B', 'C')

分析三个金盘的情况：rohanTower(3, ‘A’, ‘B’, ‘C’)
首先：把前 2 个借助于 C 移到 B 即：A–>C A–>B C–>B # 注意 交换柱子 递归 rohanTower(2, x, z, y)
其次：最后一个移到 C 即：A–>C
再次：把 B 柱 2 个借助于 A 移到 C 即：B–>A B–>C A–>C # rohanTower(2, y, x, z)

def rohanTower(n, x, y, z):
    if n == 1:
        print(f'{x}-->{z}')
    else:
        rohanTower(n - 1, x,z,y) # 把前 n-1 个借助于 c 移到 b
        print(f'{x}-->{z}') # 最后一个移到 c
        rohanTower(n - 1, y,x,z) # 把 b 柱 n-1 个借助于 a 移到 c


rohanTower(3, 'A', 'B', 'C')
# 只考虑移动次数
def hanoi(n):
    if n == 1:
        return 1
    else:
        return 2 * hanoi(n - 1) + 1

hanoi(3)

三、函数总结

第一、函数的使用可以重用代码。

第二、函数能封装内部实现，保护内部数据。很多时候，我们把函数看做“黑盒子”，即对应一定的输入会产生特定的结果或返回某个对象。往往函数的使用者并不是函数的编写者，函数的使用者对黑盒子的内部行为并不需要考虑，可以把精力投入到自身业务逻辑的设计而不是函数的实现细节。只有函数的设计者或者说编写者，才需要考虑函数内部实现的细节，如何暴露对外的接口，返回什么样的数据，也就是API的设计。

第三、即使某种功能在程序中只使用一次，将其以函数的形式实现也是有必要的，因为函数使得程序模块化，从“一团散沙”变成“整齐方队”，从而有利于程序的阅读、调用、修改和完善。