高精度加法
大整数如何存储？ --每一位存到数组里
例如：123456789 第 0 位存谁？ -- 存9
因为 如果 0位存最后一位，需要乘法的时候，在数组末尾添加数字要比数组开端添加数字方便
原理
模拟我们人加减法的过程
例如 123 + 89，我们先算3 + 9 = 11，进位，再算 3+8 = 11，再进位得 2，所以我们的答案是 212
那么假设我们有两个大整数分别存储在了 A[] , 和 B[] 中
$$
A_3 A_2A_1A_0\
- B_2 B_1B_0\
------\
C_3C_2C_1C_0
$$
C0 就是 （A0+B0）mod 10，如果 A0+B0 大于 10，那么下一次 就得进位（+1）
那么我们可以推导出 每一位Ci = Ai + Bi + t，t为上一次的进位
模板
// C = A + B, A >= 0, B >= 0
vector<int> add(vector<int> &A, vector<int> &B)
{
if (A.size() < B.size()) return add(B, A);
vector<int> C;
int t = 0;
for (int i = 0; i < A.size(); i ++ )
{
t += A[i];
if (i < B.size()) t += B[i];
C.push_back(t % 10);
t /= 10;
}
if (t) C.push_back(t);
return C;
}
// C = A - B, 满足A >= B, A >= 0, B >= 0
vector<int> sub(vector<int> &A, vector<int> &B)
{
vector<int> C;
for (int i = 0, t = 0; i < A.size(); i ++ )
{
t = A[i] - t;
if (i < B.size()) t -= B[i];
C.push_back((t + 10) % 10);
if (t < 0) t = 1;
else t = 0;
}
while (C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back();
return C;
}
练习
给定两个正整数（不含前导 0），计算它们的和。
输入格式
共两行，每行包含一个整数。
输出格式
共一行，包含所求的和。
数据范围
1≤整数长度≤100000
输入样例：
12 23输出样例：
35
#include<iostream>
#include<vector>
#include<string>
using namespace std;
const int N = 1e6+10;
vector<int> add(vector<int>A,vector<int>B)
{
vector<int> C;
int t;
for(int i = 0;i < A.size()||i < B.size();i++)
{
if(i < A.size())
{
t += A[i];
}
if(i < B.size())
{
t += B[i];
}
C.push_back(t%10);
t/=10;
}
if(t)
{
C.push_back(1);
}
return C;
}
int main()
{
string a,b;
cin >> a >> b;
vector<int> A,B;
for(int i = a.size()-1;i >= 0;i--)
{
A.push_back(a[i]-'0');
}
for(int i = b.size()-1;i >= 0;i--)
{
B.push_back(b[i]-'0');
}
auto C = add(A,B);
for(int i = C.size()-1;i >= 0;i--)
{
cout << C[i];
}
}
高精度减法
原理
$$
A_3 A_2A_1A_0\
- B_2 B_1B_0\
------\
C_3C_2C_1C_0
$$
那我们可归纳为
$$
C_i = A_i-B_i-t= \begin{cases}A_i-B_i-t,Ci>=0\A_i-B_i+10-t,C_i<0\end{cases}
$$
$$
A - B = \begin{cases} A-B,A>=B\-(B-A),A<=B\end{cases}
$$
模板
// C = A - B, 满足A >= B, A >= 0, B >= 0
vector<int> sub(vector<int> &A, vector<int> &B)
{
vector<int> C;
for (int i = 0, t = 0; i < A.size(); i ++ )
{
t = A[i] - t;
if (i < B.size()) t -= B[i];
C.push_back((t + 10) % 10);
if (t < 0) t = 1;
else t = 0;
}
while (C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back();
return C;
}
练习
给定两个正整数（不含前导 0），计算它们的差，计算结果可能为负数。
输入格式
共两行，每行包含一个整数。
输出格式
共一行，包含所求的差。
数据范围
1≤整数长度≤10^5
输入样例：
32 11输出样例：
21
#include<iostream>
#include<vector>
#include<string>
using namespace std;
bool cmp(vector<int> A,vector<int> B)
{
if(A.size()!=B.size())
{
return A.size()>B.size();
}else{
for(int i = A.size()-1;i >= 0;i--)
{
if(A[i]!=B[i])
{
return A[i] > B[i];
}
}
}
return true;
}
vector<int> sub(vector<int>&A,vector<int>&B)
{
vector<int> C;
int t;
for(int i = 0,t = 0;i <A.size();i++)
{
t = A[i] - t;
if(i < B.size())
{
t -= B[i];
}
C.push_back((t+10)%10);
if(t < 0)
{
t = 1;
}else{
t = 0;
}
}
while(C.size()>1&&C.back()==0)
{
C.pop_back();
}
return C;
}
int main()
{
string a,b;
cin >> a >> b;
vector<int> A,B;
for(int i = a.size()-1;i >= 0;i--)
{
A.push_back(a[i]-'0');
}
for(int i = b.size()-1;i >= 0;i--)
{
B.push_back(b[i]-'0');
}
if(cmp(A,B))
{
auto C = sub(A,B);
for(int i = C.size()-1;i >= 0;i--)
{
cout << C[i];
}
}else{
auto C = sub(B,A);
cout << "-";
for(int i = C.size()-1;i >= 0;i--)
{
cout << C[i];
}
}
}
高精度乘法
$$
A_3 A_2A_1A_0\
-
a\\
------\
C_3C_2C_1C_0
$$
例子
A = 123 B=12
C0 = (3x12)%10 = 6 t1 = (3x12)/10 = 3
C1 = (2x12+t)%10 = 7 t2 = 2
答案是：1476
模板
// C = A * b, A >= 0, b >= 0
vector<int> mul(vector<int> &A, int b)
{
vector<int> C;
int t = 0;
for (int i = 0; i < A.size() || t; i ++ )
{
if (i < A.size()) t += A[i] * b;
C.push_back(t % 10);
t /= 10;
}
while (C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back();
return C;
}
练习
给定两个非负整数（不含前导 0） A 和 B，请你计算 A×B 的值。
输入格式
共两行，第一行包含整数 A，第二行包含整数 B。
输出格式
共一行，包含 A×B 的值。
数据范围
1≤A的长度≤100000
0≤B≤10000输入样例：
2 3输出样例：
6
#include<iostream>
#include<vector>
#include<string>
using namespace std;
vector<int> mul(vector<int> &A, int b)
{
vector<int> C;
int t = 0;
for (int i = 0; i < A.size() || t; i ++ )
{
if (i < A.size()) t += A[i] * b;
C.push_back(t % 10);
t /= 10;
}
while (C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back();
return C;
}
int main()
{
int b;
string a;
vector<int> A;
cin >> a >> b;
for(int i = a.size()-1;i>=0;i--)
{
A.push_back(a[i]-'0');
}
auto C = mul(A,b);
for(int i = C.size()-1;i >= 0;i--)
{
cout << C[i];
}
}
高精度除法
例如：11√1234
首先看第一位，1除以11，显然不够，上0，余数是1，我们把余数乘10+下一位的2，得到12
，得到1，余数为1，以此类推得到答案是112
模板
// A / b = C ... r, A >= 0, b > 0
vector<int> div(vector<int> &A, int b, int &r)
{
vector<int> C;
r = 0;
for (int i = A.size() - 1; i >= 0; i -- )
{
r = r * 10 + A[i];
C.push_back(r / b);
r %= b;
}
reverse(C.begin(), C.end());
while (C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back();
return C;
}
练习
给定两个非负整数（不含前导 0） A，B，请你计算 A/B 的商和余数。
输入格式
共两行，第一行包含整数 A，第二行包含整数 B。
输出格式
共两行，第一行输出所求的商，第二行输出所求余数。
数据范围
1≤A的长度≤100000
1≤B≤10000,
B 一定不为 0输入样例：
7 2输出样例：
3 1
#include<iostream>
#include<vector>
#include<algorithm>
#include<string>
using namespace std;
vector<int> div(vector<int> &A,int b,int &r)
{
vector<int> C;
r = 0;
for(int i = A.size()-1;i >= 0;i--)
{
r = r*10 + A[i];
C.push_back(r/b);
r%=b;
}
reverse(C.begin(),C.end());
while(C.size()>1 && C.back()==0)
{
C.pop_back();
}
return C;
}
int main()
{
string a;
int b;
cin >> a >> b;
vector<int> A;
for(int i = a.size()-1;i >= 0;i--)
{
A.push_back(a[i]-'0');
}
int r;
auto C = div(A,b,r);
for(int i = C.size()-1;i >= 0;i--)
{
cout << C[i];
}
cout << endl;
cout << r;
}