动态规划

基本概念

阶段

问题的过程被分成若干相互联系的部分，我们成为阶段，以便按一定的次序求解。

状态

某一阶段的出发位置成为状态，通常一个阶段包含若干状态。

决策

对问题的处理中作出的每种选择的行动就是决策。即从该阶段的每个状态出发，通过一次选择性的状态。

基本思想

建立子问题的描述，建立状态间的转移关系，使用递推或记忆化搜索法来实现。

• 状态定义用问题的某些特征参数描述一个子问题。在很多时候，状态描述的细微差别将会引起算法的不同。
• 状态转移方程即状态值之间的递推关系。这个方程通常需要考虑两个部分：一是递推的顺序，二是递归边界（也是递推起点）
• 重叠子问题是动态规划展示威力的关键。
• 能用动态规划的求最优解问题，必须满足最优解的每个局部也都是最优的
• 无后效性：未来与过去无关

典型例题

LCS

P1439 【模板】最长公共子序列

最长公共子序列，英文缩写为LCS(Longest Common Subsequence)。其定义是，一个序列 S ，如果分别是两个或多个已知序列的子序列，且是所有符合此条件序列中最长的，则 S 称为已知序列的最长公共子序列。而最长公共子串(要求连续)和最长公共子序列是不同的.

《算法竞赛进阶指南》上没有给出标程怎么会要标程呢所以给出程序或许并非最佳

• 状态表示：f[i]表示以a[i]为结尾的“最长上升子序列”的长度

• 阶段划分：子序列的结尾位置

• 转移方程：

  \[f[i]=max(f[j]+1),0<=j<i,a[j]<a[i] \]

• 边界：f[0]=0

模板代码：

    //最长公共子序列
    #include<bits/stdc++.h>
    using namespace std;
    char a[100000],b[100000];
    int dp[10000][10000],n;	//dp为转移数组
    int main(){
        scanf("%d",&n);
        for(int i=1;i<=n;i++)	cin>>a[i];
        for(int i=1;i<=n;i++)	cin>>b[i];
        dp[n][0]=0,dp[0][n]=0;	//初始化
        for(int i=1;i<=n;i++){
            for(int j=1;j<=n;j++){
                dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);	//状态转移方程
                if(a[i]==b[j])	dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][j-1]+1);
            }
        }
        printf("%d",dp[n][n]);
        return 0;

LIS

最长上升子序列（Longest Increasing Subsequence），简称LIS，也有些情况求的是最长非降序子序列，二者区别就是序列中是否可以有相等的数。

《算法竞赛进阶指南》上依旧没有给出标程怎么会要标程呢所以给出程序或许并非最佳

• 状态表示：f[i,j]表示前缀子串a[1-i]与b[1-j]的“最长公共子序列”的长度

• 状态划分：已处理的前缀长度

• 转移方程：

  \[f[i,j]=max(max(f[i-1,j],f[i,j-1]),f[i-1,j-1])\\ if(a[i]==b[i]) \]

• 边界：f[i,0]=f[0,j]=0

模板代码：

    //最长上升子序列
    #include<bits/stdc++.h>
    using namespace std;
    int a[100000],n,dp[100000],ans;
    int main(){
        scanf("%d",&n);
        for(int i=1;i<=n;i++)	scanf("%d",&a[i]);
        dp[0]=0;	//初始化
        for(int i=1;i<=n;i++){
            for(int j=0;j<i;j++){
                if(a[j]<a[i])	dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1);	//状态转移
            }
        }
        for(int i=1;i<=n;i++)	ans=max(ans,dp[i]);
        printf("%d",ans);
        return 0;
    }

P1434滑雪

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P2196挖地雷

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