一. 什么是AVL树？
在说AVL树之前，先回顾一下我们之前研究过的二分查找树（二分搜索树），在极端的情况下，二分搜索树会从一棵二叉树变为链表（按顺序插入数据）这样的查询效率会大打折扣。
测试上一节二叉查找树在极端情况下的例子：
为了解决这个问题，就需要通过增加一些属性和变化，将二叉查找树转为（在创建二叉树时候进行旋转让二叉树再次平衡）二叉平衡树。
AVL树（由G.M.Adelson-Velsky和Evgenii Landis发明，AVL命名是使用两个人的名字缩写组成）是最早的自平衡二叉搜索树，AVL树中，任一结点对应的两棵子树的最大高度差不超过1 。
在二叉树中满二叉树（除叶子结点外的所有结点均有两个子结点。节点数达到最大值。所有叶子结点必须在同一层上。）和完全二叉树（二叉树的深度为h，除第 h 层外，其它各层 (1～h-1) 的结点数都达到最大个数，第 h 层所有的结点都连续集中在最左边）天生就是一棵平衡二叉树。
注意： 平衡二叉树不一定是完全二叉树。
平衡二叉树：对于任意一个结点左右子树高度差不能超过1。
所以AVL可以理解是在二分查找树的基础上兼顾了其平衡性。AVL又名平衡二叉查找树简称为平衡二叉树。
二. 平衡因子
先回顾一下二叉树结点的高度和深度：
- 深度：深度是从根结点开始算，表示从根到某一个结点唯一的路径的长（该路径长边的条数）。
- 高度：表示某一个结点到叶子结点最长路径的长。
下面看一个例子：
接着看一个什么是平衡因子 ：某个结点的左子树的高度减去右子树的高度得到的差值。
下图是一个非平衡二叉树和平衡二叉树平衡因子的展示：
三. AVL初始化
3.1. 结点定义
定义AVL树结点：
// TreeNode AVL结点定义
type TreeNode struct {
data int // 结点数据
height int // 结点高度
left *TreeNode // 左孩子
right *TreeNode // 右孩子
}
// NewTreeNode 构建一个新结点
func NewTreeNode(data int) *TreeNode {
return &TreeNode{
height: 0,
left: nil,
right: nil,
data: data,
}
}
可以在二叉查找树的基础上进行修改，这里重点实现插入和删除的操作，其他一些基本上都和二叉树操作一样。
type AVLTree struct {
root *TreeNode
}
// Insert 插入
func (a *AVLTree) Insert(data int) {
// TODO
}
// Delete 删除
func (a *AVLTree) Delete(data int) {
// TODO
}下面还需要增加一些辅助函数，帮助后面插入和删除的操作。
3.2. 结点高度
在结点中包含了height的属性，如果结点是nil的时候返回0，否则返回结点中height高度。
// height 获取结点的高度
func (a *AVLTree) height(node *TreeNode) int {
if node == nil {
return -1
}
return node.height
}
3.3. 计算平衡因子
平衡因子：某个结点的左子树的高度减去右子树的高度得到的差值。
// balanceFactor 获取结点的平衡因子
func (a *AVLTree) balanceFactor(node *TreeNode) int {
if node == nil {
return 0
}
return a.height(node.left) - a.height(node.right)
}
3.4. 判断当前二叉树是否为平衡二叉树
这个方法，后面结点调整会用到； 当插入数据之后，判断当前二叉树是否为平衡二叉树，不是的话需要调整。
// IsBalanceTree 判断是是否为平衡二叉树
func (a *AVLTree) IsBalanceTree() bool {
return a.isBalanceTree(a.root)
}
// isBalanceTree 递归判断
func (a AVLTree) isBalanceTree(node *TreeNode) bool {
// node是nil的，返回 true
if node == nil {
return true
}
// 获取当前结点的平衡因子
factor := a.balanceFactor(node)
// 如果平衡因子大于1的话，说明是非平衡二叉树
if factor * factor > 1 {
return false
}
// 判断左右子树平衡因子大于1
return a.isBalanceTree(node.left) && a.isBalanceTree(node.right)
}
3.5. 结点增加
这里先使用上一节二叉查找树的中序遍历，进行数据展示。接着用递归实现二叉树查找树的插入：
// Insert 插入数据
func (a *AVLTree) Insert(data int) {
a.root = a.insert(a.root, data)
}
// max x,y两个树之间的最大值
func max(x, y int) int {
if x > y {
return x
}
return y
}
// insert 内置的递归函数构建二叉查找树
func (a *AVLTree) insert(node *TreeNode, data int) *TreeNode {
// 当前结点如果是nil，创建新结点并返回
if node == nil {
return NewTreeNode(data)
}
// 如果当前结点的data小于data值
if node.data < data {
// 从右子树添加
node.right = a.insert(node.right, data)
}
// 如果当前结点的data大于data值
if node.data > data {
// 从左子树添加
node.left = a.insert(node.left, data)
}
// 更新高度值
node.height = 1 + max(a.height(node.left), a.height(node.right))
// 计算当前结点的平衡因子
balanceFactor := a.balanceFactor(node)
fmt.Printf("结点：%d:%d => %d\n", node.data, node.height, balanceFactor)
return node
}
3.6. 测试
这里通过生成1000个随机数，输出构建的二叉查树。
func TestNewTreeNode(t *testing.T) {
rand.Seed(time.Now().UnixNano())
tree := AVLTree{}
for i := 0; i < 1000; i++ {
tree.Insert(rand.Intn(1000))
}
tree.InOrderTraverse()
}四. 插入维护平衡
当有一个结点插入之后，会出现二叉树平衡性被打破，此时就需要去维护二叉树查找树，使二叉查找树保存平衡因子不超过1。
在3.5中在构建二叉查找树过程中只设置height和计算平衡因子。但是并没有维护插入结点之后对于整棵树的平衡性。
// insert 内置的递归函数构建二叉查找树
func (a *AVLTree) insert(node *TreeNode, data int) *TreeNode {
// 当前结点如果是nil，创建新结点并返回
if node == nil {
return NewTreeNode(data)
}
// 如果当前结点的data小于data值
if node.data < data {
// 从右子树添加
node.right = a.insert(node.right, data)
}
// 如果当前结点的data大于data值
if node.data > data {
// 从左子树添加
node.left = a.insert(node.left, data)
}
// 更新高度值
node.height = 1 + max(a.height(node.left), a.height(node.right))
// 计算当前结点的平衡因子
balanceFactor := a.balanceFactor(node)
// TODO 维护平衡
return node
}
这里我们就需要讨论一下，当插入结点之后会出现不平衡的情况已经如何去维护平衡。
注意：在结点增加之前，二叉树查找树是平衡二叉树；在增加之后才会破坏原来的平衡状态。
4.1. RR型：右旋转
当增加结点的一直往左子树上增加，平衡因子超过1之后就会不平衡，如下图：
从图中可以看出，触发右旋转的条件：当前结点的平衡因子大于1并且当前结点的左子树的平衡因子大于等于0，这样可以保证二叉树是向左侧偏的。接着看一下应该如何右旋转：
从上图可知：将B结点指向D2的指针指向A结点，再将A结点的左指针指向原来B结点指向的D2结点；最后还需要修改A、B两个结点的高度。
代码实现：
// rightSpin 右旋转
func (a *AVLTree) rightSpin(node *TreeNode) *TreeNode {
// 先保存指针指向的地址
lCh := node.left
lRCh := lCh.right
// 旋转
lCh.right = node
node.left = lRCh
// 更新height，先更新node结点（旋转之后node结点变成了，lCh的子结点），接着在更新lCh结点的高度
node.height = max(a.height(node.left), a.height(node.right)) + 1
lCh.height = max(a.height(lCh.left), a.height(lCh.right)) + 1
// 返回旋转之后的根结点
return lCh
}
4.2. LL：左旋转
左旋转和右旋转是想反的操作。增加的结点一直向右侧偏移，平衡因子超过-1说明当前二叉树不是平衡二叉树。
从图中可以知道触发左旋转的条件是：当前结点的平衡因子小于-1并且当前结点的右子树的平衡因子小于等于0，这样可以保证二叉树是向右侧偏的。接着看一下应该如何左旋转：
实现和右旋转是相反的，代码实现：
// leftSpin 左旋转
func (a *AVLTree) leftSpin(node *TreeNode) *TreeNode {
// 先保存指针指向的地址
rCh := node.right
rLCh := rCh.left
// 选装
rCh.left = node
node.right = rLCh
// 更新高度
node.height = max(a.height(node.left), a.height(node.right)) + 1
rCh.height = max(a.height(rCh.left), a.height(rCh.right)) + 1
// 返回旋转之后的根结点
return rCh
}
4.3. LR：左旋转；右旋转
这种情况对应下图，指的是在某一个结点的左孩子的右子树上增加结点导致不平衡。
将失衡的状态，需要先进行左旋转转换为我们熟悉的RR型，然后按照RR型进行右旋转。
4.4. RL：右旋转；左旋转
这种情况对应下图，指的是在某一个结点的右孩子的左子树上增加结点导致不平衡。
将失衡的状态，需要先进行右旋转转换为我们熟悉的LL型，然后按照LL型进行左旋转。
4.5. 完善插入方法
将上面四种情况整合回溯的维护平衡的部分；这样就可以将二叉查找树转为AVL树。
先将维护平衡地方抽取成一个方法：
// maintain 维护平衡
func (a *AVLTree) maintain(node *TreeNode) *TreeNode {
// 计算当前结点的平衡因子
balanceFactor := a.balanceFactor(node)
// 右旋转
if balanceFactor > 1 && a.balanceFactor(node.left) >= 0 {
return a.rightSpin(node)
}
// 左旋转
if balanceFactor < -1 && a.balanceFactor(node.right) <= 0 {
return a.leftSpin(node)
}
// LR
if balanceFactor > 1 && a.balanceFactor(node.left) < 0 {
node.left = a.leftSpin(node.left)
return a.rightSpin(node)
}
// RL
if balanceFactor < -1 && a.balanceFactor(node.right) > 0 {
node.right = a.rightSpin(node.right)
return a.leftSpin(node)
}
return node
}
插入方法的实现：
// Insert 插入数据
func (a *AVLTree) Insert(data int) {
a.root = a.insert(a.root, data)
}
// insert 递归插入数据
func (a *AVLTree) insert(node *TreeNode, data int) *TreeNode {
// 当前结点如果是nil，创建新结点并返回
if node == nil {
return NewTreeNode(data)
}
// 如果当前结点的data小于data值
if node.data < data {
// 从右子树添加
node.right = a.insert(node.right, data)
}
// 如果当前结点的data大于data值
if node.data > data {
// 从左子树添加
node.left = a.insert(node.left, data)
}
// 更新高度值
node.height = 1 + max(a.height(node.left), a.height(node.right))
// 维护平衡
return a.maintain(node)
}
最后测试一下极端情况（顺序写入结点数据）：
func TestNewTreeNode(t *testing.T) {
tree := AVLTree{}
for i := 0; i < 10000; i++ {
tree.Insert(i)
}
t.Log(tree.IsBalanceTree()) // true
}
可以很明显看到，经过调整之后极端情况之后并没有退换为链表。
五. 结点删除
结点的删除，可以再原来二叉查找树的基础上修改。在删除之前当前是一棵二叉平衡树， 在删除之后，将可能不再是一棵平衡二叉树，这时候就需要重新平衡。
重新平衡就是对删除结点所在的路径，进行回溯旋转让其重新平衡。
// Remove 移除节点
func (a *AVLTree) Remove(data int) {
a.root = a.remove(a.root, data)
}
// remove 递归移除
func (a *AVLTree) remove(node *TreeNode, data int) *TreeNode {
// 如果当前结点是nil
if node == nil {
return nil
}
var newNode *TreeNode
if data < node.data {
node.left = a.remove(node.left, data)
newNode = node
} else if data > node.data {
node.right = a.remove(node.right, data)
newNode = node
} else {
// data 和当前结点的data的数据是一致的，根据当前结点左右子树分情况去讨论
// 待删除的结点左子树为空
if node.left == nil {
right := node.right
node.right = nil
newNode = right
} else if node.right == nil {
// 待删除的结点的右子树为空
left := node.left
node.left = nil
newNode = left
} else {
// 待删除的结点的左右子树否不为空
// 找到待删除结点右子树中最小的结点
minMode := a.min(node.right)
// 移除待删除结点的右子树中最小的结点
minMode.right = a.remove(node.right, minMode.data)
minMode.left = node.left
// 将待删除结点的左右子树都设置为nil
node.left = nil
node.right = nil
// 将新的结点返回
newNode = minMode
}
}
if newNode == nil {
return nil
}
// 更新高度值
newNode.height = 1 + max(a.height(newNode.left), a.height(newNode.right))
// 维护平衡
return a.maintain(newNode)
}