四平方和
四平方和定理，又称为拉格朗日定理：
每个正整数都可以表示为至多 4 个正整数的平方和。
如果把 0 包括进去，就正好可以表示为 4 个数的平方和。
比如：
\(5=0^2+0^2+1^2+2^2\)
\(7=1^2+1^2+1^2+2^2\)
对于一个给定的正整数，可能存在多种平方和的表示法。
要求你对 4 个数排序：
\(0≤a≤b≤c≤d\)
并对所有的可能表示法按 a,b,c,d 为联合主键升序排列，最后输出第一个表示法。
输入格式
输入一个正整数 N。
输出格式
输出4个非负整数，按从小到大排序，中间用空格分开。
数据范围
\(0<N<5∗106\)
输入样例：
5
输出样例：
0 0 1 2
思路
- 暴力
- 二分（见二分模板题）
Code
1.暴力（11/12 TLE）
点击查看代码
#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
int n;
int main(){
cin >> n;
for(int a = 0; a * a <= n; a ++){
for(int b = a; a * a + b * b<= n; b ++){
for(int c = b;a * a + b * b + c * c<= n; c ++){
int t = n - a * a - b * b - c * c;
int d = sqrt(t);
//cout << t << " " << d << endl;
if(d*d == t && d >= c){
printf("%d %d %d %d",a,b,c,d);
return 0;
}
}
}
}
}
2. 二分
点击查看代码
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define endl '\n'
using namespace std;
const int N = sqrt(5*1e6) + 10;
typedef struct temp{
int c,d,s;
}temp;
int n;
temp t[N * N];
bool cmp(temp a,temp b){
if(a.s != b.s)return a.s < b.s; //二分前的预处理为有序
else if(a.c != b.c)return a.c < b.c;//维护答案要求的顺序
else return a.d < b.d;
}
bool check(int mid,int x){
int c = t[mid].c,d = t[mid].d;
if(c*c + d*d >= x)return 1;
else return 0;
}
int main(){
// ios::sync_with_stdio(false);
// cin.tie(0),cout.tie(0);
cin >> n;
int cnt = 0;
for(int c = 0; c * c <= n; c ++ ){ //预处理
for(int d = c; c * c + d * d <= n; d ++){
t[cnt ++] = {c,d,c * c + d * d};
}
}
sort(t,t + cnt,cmp);
//for(int i = 0; i < cnt; i ++)printf("%d %d %d\n",t[i].c,t[i].d,t[i].s);
for(int a = 0; a * a <= n; a ++ ){ //优化为两层for循环+二分
for(int b = a; a * a + b * b <= n; b ++ ){
int x = n - a * a - b * b; //搜索值
int l = 0, r = cnt - 1; //搜索范围
while(l < r){
int mid = l + r >> 1;
if(check(mid,x))r = mid;
else l = mid + 1;
}
int c = t[l].c,d = t[l].d; //注意这里是l或者r而不是mid
if(x == c*c + d*d && b <= c){ //维护答案要求的顺序
printf("%d %d %d %d",a,b,c,d); //按格式输出
return 0;
}
}
}
return 0;
}