前文已经介绍了经典的KMP算法,本文继续介绍KMP算法的扩展,即扩展KMP算法。
问题定义:给定两个字符串S和T(长度分别为n和m),下标从0开始,定义extend[i]等于S[i]…S[n-1]与T的最长公共前缀的长度,求出所有的extend[i]。举个例子,看下表:
i | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
S | a | a | a | a | a | b | b | b |
extend[i] | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 | 0 | 0 |
T | a | a | a | a | a | c |
为什么说这是KMP算法的扩展呢?显然,如果在S的某个位置i有extend[i]等于m,则可知在S中找到了匹配串T,并且匹配的首位置是i。而且,扩展KMP算法可以找到S中所有T的匹配。接下来具体介绍下这个算法。
一:算法流程
(1)
如上图,假设当前遍历到S串位置i,即extend[0]…extend[i-1]这i个位置的值已经计算得到。算法在遍历过程中记录了匹配成功的字符的最远位置p,及这次匹配的起始位置a。相较于字符串T得出,S[a]…S[p]等于T[0]…T[p-a]。
再定义一个辅助数组int next[]
,其中next[i]含义为:T[i]…T[m-1]与T的最长公共前缀长度,m为串T的长度。
(2)
椭圆的长度为next[i-a],对比S和T,很容易发现,三个椭圆完全相同。如上图,此时i+next[i-a]<p
,根据next数组的定义,此时extend[i]=next[i-a]
。
(3)
如果i+next[i-a]>=p
呢?仔细观察上图,很容易发现i+next[i-a]是不可能大于p的,如果可以大于p,那么以a为起始位置的最远匹配位置就不是p了,而是到了红线位置。因此i+next[i-a]只可以小于等于p,小于的情况已经讨论过了,下面讨论下等于的情况,见下图:
三个椭圆都是完全相同的,此时我们可以直接从S[p]
与T[next[i-a]-1]
开始往后匹配,加快了速度。
(4)最后,就是求解next数组。我们再来看下next与extend的定义:
next[i]: T[i]…T[m-1]与T的最长公共前缀长度;
extend[i]: S[i]…S[n-1]与T的最长公共前缀的长度。
恍然大悟,求解next的过程不就是T自己和自己的一个匹配过程嘛,下面直接看代码。
二:代码
/**
*
* author 刘毅(Limer)
* date 2017-03-12
* mode C++
*/
#include<iostream>
#include<string>
using namespace std;
/* 求解T中next[],注释参考GetExtend() */
void GetNext(string T, int next[])
{
int t_len = T.size();
next[0] = t_len;
int a;
int p;
for (int i = 1, j = -1; i < t_len; i++, j--)
{
if (j < 0 || i + next[i - a] >= p)
{
if (j < 0)
p = i, j = 0;
while (p < t_len&&T[p] == T[j])
p++, j++;
next[i] = j;
a = i;
}
else
next[i] = next[i - a];
}
}
/* 求解extend[] */
void GetExtend(string S, string T, int extend[], int next[])
{
GetNext(T, next); //得到next
int a;
int p; //记录匹配成功的字符的最远位置p,及起始位置a
int s_len = S.size();
int t_len = T.size();
for (int i = 0, j = -1; i < s_len; i++, j--) //j即等于p与i的距离,其作用是判断i是否大于p(如果j<0,则i大于p)
{
if (j < 0 || i + next[i - a] >= p) //i大于p(其实j最小只可以到-1,j<0的写法方便读者理解程序),
{ //或者可以继续比较(之所以使用大于等于而不用等于也是为了方便读者理解程序)
if (j < 0)
p = i, j = 0; //如果i大于p
while (p < s_len&&j < t_len&&S[p] == T[j])
p++, j++;
extend[i] = j;
a = i;
}
else
extend[i] = next[i - a];
}
}
int main()
{
int next[100] = { 0 };
int extend[100] = { 0 };
string S = "aaaaabbb";
string T = "aaaaac";
GetExtend(S, T, extend, next);
//打印next和extend
cout << "next: " << endl;
for (int i = 0; i < T.size(); i++)
cout << next[i] << " ";
cout << "\nextend: " << endl;
for (int i = 0; i < S.size(); i++)
cout << extend[i] << " ";
cout << endl;
return 0;
}
三:时间复杂度
Θ(n+m)。
参考文献:
[ 1 ] NOALGO. 扩展KMP算法
[ 2 ] ACdreamer. 扩展KMP算法
我的个人博客:http://www.61mon.com/index.php/archives/186/