贪心算法篇——经典题型
本次我们介绍贪心算法篇的经典题型，我们会从下面几个角度来介绍：
- Huffman树
- 排序不等式
- 绝对值不等式
- 推公式
Huffman树
我们直接给出对应题型：
/*题目名称*/
合并果子
/*题目介绍*/
在一个果园里，达达已经将所有的果子打了下来，而且按果子的不同种类分成了不同的堆。
达达决定把所有的果子合成一堆。
每一次合并，达达可以把两堆果子合并到一起，消耗的体力等于两堆果子的重量之和。
可以看出，所有的果子经过 n−1 次合并之后，就只剩下一堆了。
达达在合并果子时总共消耗的体力等于每次合并所耗体力之和。
因为还要花大力气把这些果子搬回家，所以达达在合并果子时要尽可能地节省体力。
假定每个果子重量都为 1，并且已知果子的种类数和每种果子的数目，你的任务是设计出合并的次序方案，使达达耗费的体力最少，并输出这个最小的体力耗费值。
例如有 3 种果子，数目依次为 1，2，9。
可以先将 1、2 堆合并，新堆数目为 3，耗费体力为 3。
接着，将新堆与原先的第三堆合并，又得到新的堆，数目为 12，耗费体力为 12。
所以达达总共耗费体力=3+12=15。
可以证明 15 为最小的体力耗费值。
/*输入格式*/
输入包括两行，第一行是一个整数 n，表示果子的种类数。
第二行包含 n 个整数，用空格分隔，第 i 个整数 ai 是第 i 种果子的数目。
/*输出格式*/
输出包括一行，这一行只包含一个整数，也就是最小的体力耗费值。
输入数据保证这个值小于 231。
/*数据范围*/
1 ≤ n ≤ 10000,
1 ≤ ai ≤ 20000
/*输入样例*/
3
1 2 9
/*输出样例*/
15
我们采用贪心的思想来进行分析：
/*贪心思想*/
我们在当前情况以最优解的形式给出结果
/*题目分析*/
我们仅针对当前情况进行分析，如果我们想要得到当前情况的体力耗费最小值
那么我们只需要找到该果子中最小的两堆，进行合并即可
我们直接给出求解代码：
import java.util.*;
public class Main{
public static void main(String[] args){
Scanner scanner = new Scanner(System.in);
int N = 10010;
int n = scanner.nextInt();
// 我们这里直接采用一个优先队列来存储，直接将其变为从小到大排列的方式
Queue<Integer> minheap = new PriorityQueue<>();
// 输入数据
for(int i = 0 ; i < n ; i ++ ){
int x = scanner.nextInt();
minheap.add(x);
}
// 这是我们的最后返回结果
int res = 0;
// 我们循环n次，就相当于将n堆果子合并n次
for(int i = 0 ; i < n ; i ++ ){
// 这里需要判断大小，当大小大于1时，我们再合并，因为当大小为1时就是结果了
if(minheap.size() > 1){
// 将最小的数取出来后弹出
int a = minheap.poll();
//将第二小的数取出来后弹出
int b = minheap.poll();
// 将每一次两堆最小值相加之后的加过累加
res += a + b;
//然后将他放入到堆中
minheap.add(a + b);
}
}
// 最后输出结果即可
System.out.println(res);
}
}
排序不等式
我们直接给出对应题型：
/*题目名称*/
排队打水
/*题目介绍*/
有 n 个人排队到 1 个水龙头处打水，第 i 个人装满水桶所需的时间是 ti，请问如何安排他们的打水顺序才能使所有人的等待时间之和最小？
/*输入格式*/
第一行包含整数 n。
第二行包含 n 个整数，其中第 i 个整数表示第 i 个人装满水桶所花费的时间 ti。
/*输出格式*/
输出一个整数，表示最小的等待时间之和。
/*数据范围*/
1 ≤ n ≤ 105,
1 ≤ ti ≤ 104
/*输入样例*/
7
3 6 1 4 2 5 7
/*输出样例*/
56
我们采用贪心的思想来进行分析：
/*贪心思想*/
我们在当前情况以最优解的形式给出结果
/*题目分析*/
我们仅针对当前情况进行分析，如果我们想要得到当前状况后续等待时间最少
那么我们只需要找到耗时最少的人，那么后面的人等待时间就是最少的
我们直接给出求解代码：
import java.util.*;
public class Main {
public static void main(String[] agrs){
Scanner scan = new Scanner(System.in);
int N = 100010;
int[] w = new int[N];
int n = scan.nextInt();
// 赋值
for(int i = 0 ; i < n ; i ++ ){
w[i] = scan.nextInt();
}
// 从小到大排序，后面直接遍历即可
Arrays.sort(w,0,n);
// 返回值（最小等待时间）
long res = 0;
// 开始遍历
for(int i = 0 ; i < n ; i ++ ){
// 我们直接计算该时间段后面的人所需要等待的总时间（n-1-i是指当前排队人数，w[i]是当前耗费时间，+=即可统计）
res += w[i] * (n - i - 1);
}
System.out.println(res);
}
}
绝对值不等式
我们直接给出对应题型：
/*题目名称*/
货仓选址
/*题目介绍*/
在一条数轴上有 N 家商店，它们的坐标分别为 A1∼AN。
现在需要在数轴上建立一家货仓，每天清晨，从货仓到每家商店都要运送一车商品。
为了提高效率，求把货仓建在何处，可以使得货仓到每家商店的距离之和最小。
/*输入格式*/
第一行输入整数 N。
第二行 N 个整数 A1∼AN。
/*输出格式*/
输出一个整数，表示距离之和的最小值。
/*数据范围*/
1 ≤ N ≤ 100000,
0 ≤ Ai ≤ 40000
/*输入样例*/
4
6 2 9 1
/*输出样例*/
12
我们采用贪心的思想来进行分析：
/*贪心思想*/
我们在当前情况以最优解的形式给出结果
/*题目分析*/
我们仅针对当前情况进行分析
我们如果只有两家商家，那么只要在他俩之间的点都可以保证两者到货舱距离和的最小值
但是当出现三家商家时，我们首先无法使用前面的思想了
这时我们会发现如果货舱在两边的商家中间时，两边商家到该货舱的距离为最小且不改变，这时我们只需要保证货舱到中间的商家距离最小即可
那么该货舱的位置肯定就是中间的商家位置了
那么我们就直接拟设一个点，设为最中间商家的点并尝试获得答案（贪心就是不断猜测并验证的过程）
我们直接给出求解代码：
import java.util.*;
public class Main{
public static void main(String[] agrs){
Scanner scan = new Scanner(System.in);
int N = 100010;
int[] a = new int[N];
int n = scan.nextInt();
// 赋值
for(int i = 0 ; i < n ; i ++ ){
a[i] = scan.nextInt();
}
// 从小到大排序
Arrays.sort(a,0,n);
// 返回值
int sum = 0;
// 遍历
for(int i = 0 ; i < n ; i ++ ){
// 我们用当前点来减去中间点获得当前距离，并不断累加即可
sum += Math.abs(a[i] - a[n / 2]);
}
System.out.println(sum);
}
}
推公式
我们直接给出对应题型：
/*题目名称*/
耍杂技的牛
/*题目介绍*/
农民约翰的 N 头奶牛（编号为 1..N）计划逃跑并加入马戏团，为此它们决定练习表演杂技。
奶牛们不是非常有创意，只提出了一个杂技表演：
叠罗汉，表演时，奶牛们站在彼此的身上，形成一个高高的垂直堆叠。
奶牛们正在试图找到自己在这个堆叠中应该所处的位置顺序。
这 N 头奶牛中的每一头都有着自己的重量 Wi 以及自己的强壮程度 Si。
一头牛支撑不住的可能性取决于它头上所有牛的总重量（不包括它自己）减去它的身体强壮程度的值，现在称该数值为风险值，风险值越大，这只牛撑不住的可能性越高。
您的任务是确定奶牛的排序，使得所有奶牛的风险值中的最大值尽可能的小。
/*输入格式*/
第一行输入整数 N，表示奶牛数量。
接下来 N 行，每行输入两个整数，表示牛的重量和强壮程度，第 i 行表示第 i 头牛的重量 Wi 以及它的强壮程度 Si。
/*输出格式*/
输出一个整数，表示最大风险值的最小可能值。
/*数据范围*/
1 ≤ N ≤ 50000,
1 ≤ Wi ≤ 10,000,
1 ≤ Si ≤ 1,000,000,000
/*输入样例*/
3
10 3
2 5
3 3
/*输出样例*/
2
我们采用贪心的思想来进行分析：
/*贪心思想*/
我们在当前情况以最优解的形式给出结果
/*题目分析*/
我们如果直接按数值排序，因为存在两个数值，我们是无法找到规律的
但是我们可以进行推算：（危险系数设计为a[i]）
我们最开始按照顺序进行排列，那么他们的危险系数为：
a[i] = w[1]+w[2]+...+w[i-1]-s[i]
a[i+1] = w[1]+w[2]+...+w[i]-s[i+1]
我们采用贪心算法，我们如果每次将第i头牛和第i+1头牛进行位置转换，那么是否可以缩减危险系数：
a[i] = w[1]+w[2]+...+w[i-1]+w[i+1]-s[i]
a[i+1] = w[1]+w[2]+...+w[i-1]-s[i+1]
我们如果抛出掉多余元素：
a[i] 交换前：-s[i]
a[i+1]交换前：w[i]-s[i+1]
a[i] 交换后：w[i+1]-s[i]
a[i+1]交换后：-s[i+1]
我们只需要比较MAX即可，同时由于w[i],s[i]均大于0，我们可以进行推算（推算步骤这里不演示了）：
- 当s[i]+w[i] > s[i+1]+w[i+1]时，进行交换，我们的危险系数可以下降或者不变
那么我们只需要将牛按照s[i]+w[i]的数值进行排序，并最后计算出对应值危险系数值即可
我们直接给出求解代码：
import java.util.*;
public class Main{
static int N = 50010;
static PII[] p = new PII[N];
static int[] s = new int[N];
public static void main(String[] args){
Scanner scan = new Scanner(System.in);
int n = scan.nextInt();
for(int i = 0 ; i < n ; i ++ ){
int w = scan.nextInt();
int s = scan.nextInt();
// 存入（体重+强壮值，体重）
p[i] = new PII(w + s,w);
}
// 按照体重+强壮值排序
Arrays.sort(p,0,n);
// 首先设置返回结果，将其设为负无穷以便于替换
int res = (int) -1e9;
// 这里设置重量，我们会从上往下计算，因此每次加上一个重量
int sum = 0;
// 开始遍历
for(int i = 0 ; i < n ; i ++ ){
int w = p[i].y; // 体重
int s = p[i].x - w; // 强壮值
res = Math.max(res,sum - s); // 减去的是最下面的一个人的强壮值
sum += w; // 叠罗汉上去一个人就得叠加重量
}
// 最后返回结果
System.out.println(res);
}
}
// 模拟牛，主要是为了更换CompareTo比较条件
class PII implements Comparable<PII>{
int x,y;
public PII(int x,int y){
this.x = x;
this.y = y;
}
// 注意传参， 我们这里的x是指体重+强壮值，还因为我们需要从上往下计算，所以我们以体重+强壮值从小到大排序
public int compareTo(PII o){
return Integer.compare(x,o.x);
}
}
结束语
好的，关于贪心算法篇的经典题型就介绍到这里，希望能为你带来帮助~
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