R语言对混合分布中的不可观测与可观测异质性因子分析
今天上午，在课程中，我们讨论了利率制定中可观察和不可观察异质性之间的区别（从经济角度出发）。为了说明这一点，我们看了以下简单示例。让 X 代表一个人的身高。考虑以下数据集
> Davis[12,c(2,3)]=Davis[12,c(3,2)]
在这里，关注变量是给定人的身高，
> X=Davis$height
如果我们看直方图，我们有
> hist(X,col="light green", border="white",proba=TRUE,xlab="",main="")
我们可以假设我们具有高斯分布吗？
在这里，如果我们拟合高斯分布，将其绘制出来，并添加基于核的估计量，我们将得到
> (param <- fitdistr(X,"normal")$estimate)
> f1 <- function(x) dnorm(x,param[1],param[2])
> x=seq(100,210,by=.2)
> lines(x,f1(x),lty=2,col="red")
> lines(density(X))
如果看那条黑线，可能会想到一种混合分布，例如
当我们有一个获得混合分布不可观察的异质性因子：概率 p1，一个随机变量
，概率p2，一个随机变量
。我们可以使用例如
> (param12 <- c(mix$lambda[1],mix$mu,mix$sigma))
[1] 0.4002202 178.4997298 165.2703616 6.3561363 5.9460023
如果我们绘制两个高斯分布的混合图，我们得到
> lines(x,f2(x),lwd=2, col="red") lines(density(X))
不错。实际上，我们可以尝试使用自己的代码最大限度地提高可能性，
> bvec <- c(0,-1,0,0)
> constrOptim(c(.5,160,180,10,10), logL, NULL, ui = Amat, ci = bvec)$par
[1] 0.5996263 165.2690084 178.4991624 5.9447675 6.3564746
在这里，我们包括一些约束，以保证概率属于单位间隔，并且方差参数保持正值。
进一步来说，如果我们假设基础分布具有相同的方差，即
在这种情况下，我们必须使用之前的代码，并进行一些小的更改，
> (param12c= constrOptim(c(.5,160,180,10), logL, NULL, ui = Amat, ci = bvec)$par)
[1] 0.6319105 165.6142824 179.0623954 6.1072614
如果我们不能观察到异质性因素，这就是我们可以做的。我们实际上在数据集中有一些信息。例如，我们具有人的性别。现在，如果我们查看每个性别的身高直方图，以及基于内核的每个性别的身高密度估计量，
因此，看起来男性的身高和女性的身高是不同的。也许我们可以使用实际观察到的变量来解释样本中的异质性。在形式上，这里的想法是考虑具有可观察到的异质性因素的混合分布：性别，
现在，我们对以前称为类[1]和[2]的解释是：男性和女性。在这里，估算参数非常简单，
sex=="F"
mean sd
164.714286 5.633808
sex=="M"
mean sd
178.011364 6.404001
如果我们绘制密度，我们有
> lines(x,f4(x),lwd=3,col="blue")
如果再次假设相同的方差怎么办？即，模型变为
然后，一个自然的想法是根据以前的计算得出方差的估计量
> s
[1] 6.015068
再一次，可以绘制相关的密度，
> lines(x,f5(x),lwd=3,col="blue")
现在，如果我们仔细考虑一下我们所做的事情，那仅仅是对一个因素（人的性别）的线性回归，
实际上，如果我们运行代码来估算此线性模型，
Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-16.7143 -3.7143 -0.0114 4.2857 18.9886
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 164.7143 0.5684 289.80 <2e-16 ***
sexM 13.2971 0.8569 15.52 <2e-16 ***
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Residual standard error: 6.015 on 198 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.5488, Adjusted R-squared: 0.5465
F-statistic: 240.8 on 1 and 198 DF, p-value: < 2.2e-16
我们得到的均值和方差的估计与之前获得的估计相同。因此，正如今天上午在课堂上提到的，如果您有一个不可观察的异质性因子，我们可以使用混合模型来拟合分布，但是如果您可以得到该因子的替代，这是可观察的，则可以运行回归。