拓端tecdat|R语言编程指导用贝叶斯层次模型进行空间数据分析

R语言使用贝叶斯层次模型进行空间数据分析

介绍

在本节中，我将重点介绍使用集成嵌套 拉普拉斯近似方法的贝叶斯推理。 
可以 估计贝叶斯 层次模型的后边缘分布。 鉴于模型类型非常广泛，我们将重点关注用于分析晶格数据的空间模型。

数据集：纽约州北部的白血病

为了说明如何与空间模型拟合，将使用纽约白血病数据集。该数据集记录了普查区纽约州北部的许多白血病病例。数据集中的一些变量是：

• ​​Cases​​：1978-1982年期间的白血病病例数。
• ​​POP8​​：1980年人口。
• ​​PCTOWNHOME​​：拥有房屋的人口比例。
• ​​PCTAGE65P​​：65岁以上的人口比例。
• ​​AVGIDIST​​：到最近的三氯乙烯（TCE）站点的平均反距离。

鉴于有兴趣研究纽约州北部的白血病风险，因此首先要计算预期的病例数。这是通过计算总死亡率（总病例数除以总人口数）并将其乘以总人口数得出的：

rate <- sum(NY8$Cases) / sum(NY8$POP8)
NY8$Expected <- NY8$POP8 * rate

一旦获得了预期的病例数，就可以使用标准化死亡率（SMR）来获得原始的风险估计，该标准是将观察到的病例数除以预期的病例数得出的：

NY8$SMR <- NY8$Cases / NY8$Expected

疾病作图

在流行病学中，重要的是制作地图以显示相对风险的空间分布。在此示例中，我们将重点放在锡拉库扎市以减少生成地图的计算时间。因此，我们用锡拉丘兹市的区域创建索引：

# Subset Syracuse city
syracuse <- which(NY8$AREANAME == "Syracuse city")

可以使用函数​​spplot​​​（在包中​​sp​​）简单地创建疾病图：

library(viridis)
## Loading required package: viridisLite
spplot(NY8[syracuse, ], "SMR", #at = c(0.6, 0.9801, 1.055, 1.087, 1.125, 13),
   col.regions = rev(magma(16))) #gray.colors(16, 0.9, 0.4))

## Loading required package: viridisLite

可以轻松创建交互式地图

请注意，先前的地图还包括11个受TCE污染的站点的位置，可以通过缩小看到它。

混合效应模型

泊松回归

我们将考虑的第一个模型是没有潜在随机效应的Poisson模型，因为这将提供与其他模型进行比较的基准。
 

 模型 ：

请注意，它的​​glm​​​功能类似于该功能。在此，参数 ​​E​​​用于预期的案例数。或  设置了其他参数来计算模型参数的边际
（使用​​​control.predictor​​​）并计算一些模型选择标准 （使用​​control.compute​​）。

接下来，可以获得模型的摘要：

summary(m1)

## 
## Call:

## Time used:
##     Pre = 0.368, Running = 0.0968, Post = 0.0587, Total = 0.524 
## Fixed effects:
##               mean    sd 0.025quant 0.5quant 0.975quant   mode kld
## (Intercept) -0.065 0.045     -0.155   -0.065      0.023 -0.064   0
## AVGIDIST     0.320 0.078      0.160    0.322      0.465  0.327   0
## 
## Expected number of effective parameters(stdev): 2.00(0.00)
## Number of equivalent replicates : 140.25 
## 
## Deviance Information Criterion (DIC) ...............: 948.12
## Deviance Information Criterion (DIC, saturated) ....: 418.75
## Effective number of parameters .....................: 2.00
## 
## Watanabe-Akaike information criterion (WAIC) ...: 949.03
## Effective number of parameters .................: 2.67
## 
## Marginal log-Likelihood:  -480.28 
## Posterior marginals for the linear predictor and
##  the fitted values are computed

具有随机效应的泊松回归

可以通过 在线性预测变量中包括iid高斯随机效应，将潜在随机效应添加到模型中，以解决过度分散问题。

现在，该模式的摘要包括有关随机效果的信息：

summary(m2)

## 
## Call:

## Time used:
##     Pre = 0.236, Running = 0.315, Post = 0.0744, Total = 0.625 
## Fixed effects:
##               mean    sd 0.025quant 0.5quant 0.975quant   mode kld
## (Intercept) -0.126 0.064     -0.256   -0.125     -0.006 -0.122   0
## AVGIDIST     0.347 0.105      0.139    0.346      0.558  0.344   0
## 
## Random effects:
##   Name     Model
##     ID IID model
## 
## Model hyperparameters:
##                     mean       sd 0.025quant 0.5quant 0.975quant mode
## Precision for ID 3712.34 11263.70       3.52     6.94   39903.61 5.18
## 
## Expected number of effective parameters(stdev): 54.95(30.20)
## Number of equivalent replicates : 5.11 
## 
## Deviance Information Criterion (DIC) ...............: 926.93
## Deviance Information Criterion (DIC, saturated) ....: 397.56
## Effective number of parameters .....................: 61.52
## 
## Watanabe-Akaike information criterion (WAIC) ...: 932.63
## Effective number of parameters .................: 57.92
## 
## Marginal log-Likelihood:  -478.93 
## Posterior marginals for the linear predictor and
##  the fitted values are computed

添加点估计以进行映射

这两个模型估计 可以被添加到 ​​SpatialPolygonsDataFrame​​​ ​​NY8 ​​

NY8$FIXED.EFF <- m1$summary.fitted[, "mean"]
NY8$IID.EFF <- m2$summary.fitted[, "mean"]
spplot(NY8[syracuse, ], c("SMR", "FIXED.EFF", "IID.EFF"),
  col.regions = rev(magma(16)))

晶格数据的空间模型

格子数据涉及在不同区域（例如，邻里，城市，省，州等）测量的数据。出现空间依赖性是因为相邻区域将显示相似的目标变量值。

邻接矩阵

可以使用​​poly2nb​​​package中的函数来计算邻接矩阵 ​​spdep​​。如果其边界 至少在某一点上接触 ，则此功能会将两个区域视为邻居：

这将返回一个​​nb​​具有邻域结构定义的对象：

NY8.nb

## Neighbour list object:
## Number of regions: 281 
## Number of nonzero links: 1624 
## Percentage nonzero weights: 2.056712 
## Average number of links: 5.779359

另外， 当多边形的重心 已知时，可以绘制对象：

plot(NY8) 
plot(NY8.nb, coordinates(NY8), add = TRUE, pch = ".", col = "gray")

回归模型

通常情况是，除了\（y_i \）之外，我们还有许多协变量 \（X_i \）。因此，我们可能想对\（X_i \）回归 \（y_i \）。除了 协变量，我们可能还需要考虑数据的空间结构。
可以使用不同类型的回归模型来建模晶格数据：

• 广义线性模型（具有空间随机效应）。
• 空间计量经济学模型。

线性混合模型

一种常见的方法（对于高斯数据）是使用
具有随机效应的线性回归：

\ [
Y = X \ beta + Zu + \ varepsilon
\]

随机效应的向量\（u \）被建模为多元正态分布：

\ [
u \ sim N（0，\ sigma ^ 2_u \ Sigma）
\]

\（\ Sigma \）的定义是，它会引起与相邻区域的更高相关性，\（Z \）是随机效果的设计矩阵，而
\（\ varepsilon_i \ sim N（0，\ sigma ^ 2），i = 1，\ ldots，n \）是一个误差项。

空间随机效应的结构

在\（\ Sigma \）中包括空间依赖的方法有很多：

• 同步自回归（SAR）：

\ [
\ Sigma ^ {-1} = [（I- \ rho W）'（I- \ rho W）]
\]

• 条件自回归（CAR）：

\ [
\ Sigma ^ {-1} =（I- \ rho W）
\]

•  （ICAR）：
  \ [
  \ Sigma ^ {-1} = diag（n_i）– W
  \]
  \（n_i \）是区域\（i \）的邻居数。
• \（\ Sigma_ {i，j} \）取决于\（d（i，j）\）的函数。例如：

\ [
\ Sigma_ {i，j} = \ exp \ {-d（i，j）/ \ phi \}
\]

• 矩阵的“混合”（Leroux等人的模型）：
  \ [
  \ Sigma = [（1 – \ lambda）I_n + \ lambda M] ^ {-1}; \ \ lambda \ in（0,1）
  \]
   

ICAR模型

第一个示例将基于ICAR规范。请注意， 使用​​f​​-函数定义空间潜在效果。这将需要 一个索引来识别每个区域中的随机效应，模型的类型 和邻接矩阵。为此，将使用稀疏矩阵。

## 
## Call:

## Time used:
##     Pre = 0.298, Running = 0.305, Post = 0.0406, Total = 0.644 
## Fixed effects:
##               mean    sd 0.025quant 0.5quant 0.975quant   mode kld
## (Intercept) -0.122 0.052     -0.226   -0.122     -0.022 -0.120   0
## AVGIDIST     0.318 0.121      0.075    0.320      0.551  0.324   0
## 
## Random effects:
##   Name     Model
##     ID Besags ICAR model
## 
## Model hyperparameters:
##                  mean   sd 0.025quant 0.5quant 0.975quant mode
## Precision for ID 3.20 1.67       1.41     2.79       7.56 2.27
## 
## Expected number of effective parameters(stdev): 46.68(12.67)
## Number of equivalent replicates : 6.02 
## 
## Deviance Information Criterion (DIC) ...............: 904.12
## Deviance Information Criterion (DIC, saturated) ....: 374.75
## Effective number of parameters .....................: 48.31
## 
## Watanabe-Akaike information criterion (WAIC) ...: 906.77
## Effective number of parameters .................: 44.27
## 
## Marginal log-Likelihood:  -685.70 
## Posterior marginals for the linear predictor and
##  the fitted values are computed

BYM模型

Besag，York和Mollié模型包括两个潜在的随机效应：ICAR 潜在效应和高斯iid潜在效应。线性预测变量\（\ eta_i \）
为：

\ [
\ eta_i = \ alpha + \ beta AVGIDIST_i + u_i + v_i
\]

• \（u_i \）是iid高斯随机效应
• \（v_i \）是内在的CAR随机效应

## 
## Call:

## Time used:
##     Pre = 0.294, Running = 1, Post = 0.0652, Total = 1.36 
## Fixed effects:
##               mean    sd 0.025quant 0.5quant 0.975quant   mode kld
## (Intercept) -0.123 0.052     -0.227   -0.122     -0.023 -0.121   0
## AVGIDIST     0.318 0.121      0.075    0.320      0.551  0.324   0
## 
## Random effects:
##   Name     Model
##     ID BYM model
## 
## Model hyperparameters:
##                                         mean      sd 0.025quant 0.5quant
## Precision for ID (iid component)     1790.06 1769.02     115.76  1265.24
## Precision for ID (spatial component)    3.12    1.36       1.37     2.82
##                                      0.975quant   mode
## Precision for ID (iid component)        6522.28 310.73
## Precision for ID (spatial component)       6.58   2.33
## 
## Expected number of effective parameters(stdev): 47.66(12.79)
## Number of equivalent replicates : 5.90 
## 
## Deviance Information Criterion (DIC) ...............: 903.41
## Deviance Information Criterion (DIC, saturated) ....: 374.04
## Effective number of parameters .....................: 48.75
## 
## Watanabe-Akaike information criterion (WAIC) ...: 906.61
## Effective number of parameters .................: 45.04
## 
## Marginal log-Likelihood:  -425.65 
## Posterior marginals for the linear predictor and
##  the fitted values are computed

Leroux 模型

该模型是使用矩阵的“混合”（Leroux等人的模型）
定义的，以定义潜在效应的精度矩阵：

\ [
\ Sigma ^ {-1} = [（1-\ lambda）I_n + \ lambda M]; \ \ lambda \ in（0,1）
\]

为了定义正确的模型，我们应采用矩阵\（C \）如下：

\ [
C = I_n – M; \ M = diag（n_i）– W
\]

然后，\（\ lambda_ {max} = 1 \）和

\ [
\ Sigma ^ {-1} =
\ frac {1} {\ tau}（I_n- \ frac {\ rho} {\ lambda_ {max}} C）=
\ frac {1} {\ tau}（I_n- \ rho（I_n – M））= \ frac {1} {\ tau}（（1- \ rho）I_n + \ rho M）
\]

为了拟合模型，第一步是创建矩阵\（M \）：

我们可以检查最大特征值\（\ lambda_ {max} \）是一个：

max(eigen(Cmatrix)$values)
## [1] 1

## [1] 1

该模型与往常一样具有功能​​inla​​​。注意，\（C \）矩阵使用参数
传递给​​​f​​​函数​​Cmatrix​​：

## 
## Call:
## Time used:
##     Pre = 0.236, Running = 0.695, Post = 0.0493, Total = 0.98 
## Fixed effects:
##               mean    sd 0.025quant 0.5quant 0.975quant   mode   kld
## (Intercept) -0.128 0.448      -0.91   -0.128      0.656 -0.126 0.075
## AVGIDIST     0.325 0.122       0.08    0.327      0.561  0.330 0.000
## 
## Random effects:
##   Name     Model
##     ID Generic1 model
## 
## Model hyperparameters:
##                   mean    sd 0.025quant 0.5quant 0.975quant  mode
## Precision for ID 2.720 1.098       1.27    2.489      5.480 2.106
## Beta for ID      0.865 0.142       0.47    0.915      0.997 0.996
## 
## Expected number of effective parameters(stdev): 52.25(13.87)
## Number of equivalent replicates : 5.38 
## 
## Deviance Information Criterion (DIC) ...............: 903.14
## Deviance Information Criterion (DIC, saturated) ....: 373.77
## Effective number of parameters .....................: 53.12
## 
## Watanabe-Akaike information criterion (WAIC) ...: 906.20
## Effective number of parameters .................: 48.19
## 
## Marginal log-Likelihood:  -474.94 
## Posterior marginals for the linear predictor and
##  the fitted values are computed

空间计量经济学模型

空间计量经济学是通过 对空间建模略有不同的方法开发的。除了使用潜在效应，还可以对空间 依赖性进行显式建模。 

同步自回归模型（SEM）

该模型包括协变量和误差项的自回归：

\ [
y = X \ beta + u; u = \ rho Wu + e; e \ sim N（0，\ sigma ^ 2）
\]

\ [
y = X \ beta + \ varepsilon; \ varepsilon \ sim N（0，\ sigma ^ 2（I- \ rho W）^ {-1}（I- \ rho W'）^ {-1}）
\]

空间滞后模型（SLM）

该模型包括协变量和响应的自回归：

\ [
y = \ rho W y + X \ beta + e; e \ sim N（0，\ sigma ^ 2）
\]

\ [
y =（I- \ rho W）^ {-1} X \ beta + \ varepsilon; \ \ varepsilon \ sim N（0，\ sigma ^ 2（I- \ rho W）^ {-1}（I- \ rho W'）^ {-1}）
\]

潜在影响​​slm​​

 现在包括一个实验所谓的新的潜在影响​​slm​​，以 符合以下模型：

\ [
\ mathbf {x} =（I_n- \ rho W）^ {-1}（X \ beta + e）
\]

该模型的元素是：

• \（W \）是行标准化的邻接矩阵。
• \（\ rho \）是空间自相关参数。
• \（X \）是协变量的矩阵，系数为\（\ beta \）。
• \（e \）是具有方差\（\ sigma ^ 2 \）的高斯iid误差。

该​​slm​​潜效果的实验，它可以 与所述线性预测其他效果组合。

模型定义

为了定义模型，我们需要：

• ​​X​​：协变量矩阵
• ​​W​​：行标准化的邻接矩阵
• ​​Q​​：系数\（\ beta \）的精确矩阵
•  范围\（\ RHO \） ，通常由本征值定义

​​ slm​​​潜在作用是通过参数传递 ​​args.sm​​。在这里，我们创建了一个具有相同名称的列表，以将 所有必需的值保存在一起：

#Arguments for 'slm'
args.slm = list(
   rho.min = rho.min ,
   rho.max = rho.max,
   W = W,
   X = mmatrix,
   Q.beta = Q.beta
)

此外，还设置了精度参数\（\ tau \）和空间 自相关参数\（\ rho \）的先验：

#Prior on rho
hyper.slm = list(
   prec = list(
      prior = "loggamma", param = c(0.01, 0.01)),
      rho = list(initial=0, prior = "logitbeta", param = c(1,1))
)

先前的定义使用具有不同参数的命名列表。参数 ​​prior​​​定义了使用之前​​param​​及其参数。在此，为 精度分配了带有参数\（0.01 \）和\（0.01 \）的伽玛先验值，而 为空间自相关参数指定了带有参数\（1 \） 和\（1 \）的beta先验值（即a间隔\（（（1，1）\））中的均匀先验。

模型拟合

## 

## Call:
## Time used:
##     Pre = 0.265, Running = 1.2, Post = 0.058, Total = 1.52 
## Random effects:
##   Name     Model
##     ID SLM model
## 
## Model hyperparameters:
##                   mean    sd 0.025quant 0.5quant 0.975quant  mode
## Precision for ID 8.989 4.115      3.709    8.085     19.449 6.641
## Rho for ID       0.822 0.073      0.653    0.832      0.936 0.854
## 
## Expected number of effective parameters(stdev): 62.82(15.46)
## Number of equivalent replicates : 4.47 
## 
## Deviance Information Criterion (DIC) ...............: 902.32
## Deviance Information Criterion (DIC, saturated) ....: 372.95
## Effective number of parameters .....................: 64.13
## 
## Watanabe-Akaike information criterion (WAIC) ...: 905.19
## Effective number of parameters .................: 56.12
## 
## Marginal log-Likelihood:  -477.30 
## Posterior marginals for the linear predictor and
##  the fitted values are computed

系数的估计显示为随机效应的一部分：

round(m.slm$summary.random$ID[47:48,], 4)

##    ID   mean     sd 0.025quant 0.5quant 0.975quant   mode kld
## 47 47 0.4634 0.3107    -0.1618   0.4671     1.0648 0.4726   0
## 48 48 0.2606 0.3410    -0.4583   0.2764     0.8894 0.3063   0

空间自相关以内部比例报告（即 0到1 之间），并且需要重新缩放：

## Mean            0.644436 
## Stdev           0.145461 
## Quantile  0.025 0.309507 
## Quantile  0.25  0.556851 
## Quantile  0.5   0.663068 
## Quantile  0.75  0.752368 
## Quantile  0.975 0.869702

plot(marg.rho, type = "l", main = "Spatial autocorrelation")

结果汇总

NY8$ICAR <- m.icar$summary.fitted.values[, "mean"]
NY8$BYM <- m.bym$summary.fitted.values[, "mean"]
NY8$LEROUX <- m.ler$summary.fitted.values[, "mean"]
NY8$SLM <- m.slm$summary.fitted.values[, "mean"]
spplot(NY8[syracuse, ], 
  c("FIXED.EFF", "IID.EFF", "ICAR", "BYM", "LEROUX", "SLM"),
  col.regions = rev(magma(16))
)

 注意空间模型如何产生相对风险的更平滑的估计。

为了选择最佳模型， 可以使用上面计算的模型选择标准：

参考文献

Bivand, R., E. Pebesma and V. Gómez-Rubio (2013). Applied spatial data
analysis with R. Springer-Verlag. New York.

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