\(\color{green}(1)\)CF721CJourney给定一张\(n\)个点\(m\)条边的有向无环图，边有边权。构造一条\(1\ton\)的路径使得其边权和\(\lek\)且经过的点数最多。\(n,m\le5\times10^3\)，\(k\le10^9\)。最简单的想法是设状态\(f_{i,j}\)表示\(1\toi\)的边权

\(Solution\)link一个经典结论是有向图中的任意一个环总能由一条生成树上的从祖先到儿子的链以及一条返祖边组成，正确性显然。不妨将所有树边和横插边都染成黑色，返祖边染成白色，这样就可以保证任意一个环都有两种颜色了。判断横插边和返祖边可以用栈来维护。#include<bits/std

线性基preface需要一点线性空间知识线性相关：在向量空间V的一组向量\(A:a_1,a_2...a_m\)如果存在不全为零的数\(k_1,k_2,···,k_m\),使\(\suma_ik_i=0\)则称向量组A是线性相关的，否则线性无关线性表出：在向量空间V的一组向量\(A:a_1,a_2...a_m\)如果存在一组实数\(k_

图的连通性这个专题，不太好说，因为涉及到的东西实在是太广泛太杂了，我们这里就只讲建模，至于建模之后的处理方式可以移步至其他的知识点。强连通对于有向图，我们可以发现，如果每个点的贡献和影响与这个点可达的点有关，那么我们就可以将一个强连通分量缩点，将原图转化为一个有向无环图，然

图论割点，割边如果删去一点，整个图的连通块数量增加，即是割点。只有环上的边不是割边。tarjandfs树上不存在横叉边，只有反祖边。判断一点是否是割点对于一点，判断它的子树中是否有能连接到该点上方的返祖边。记录\(low_y\)代表子树中能回溯到的最小的dfn值。判断：\(low_n>

solution先做easyversion(A题)只需考虑小写字母点对。每个小写字母是图里一个节点。相当于给定一些\((x_i,y_i)\)的限制。然后在图中连边，每个连边表示一次操作，把部分起点的字母变成终点的字母。要求所有\(x_i\)可达\(y_i\)，求最小连边数量。由于\(x_i<y_i\)的限制，一

DFS搜索树上有返祖边，等价于图中至少存在一个环。充分性显然，必要性。如果是无向图，那就只有树边和返祖边，不存在横插边，没有返祖边那就是一棵树，与图中有环矛盾。有向图多了横叉边，但是这样不是环，是个DAG，也矛盾。这个结论常用于深搜判环。在FishGraph一题中，dfs只能找到一个任意环，

B.特二分哈希找公共长度C.伯考场上其实是有往正解那个奇怪的结合上想的考虑n很小的时候怎么做：这时候可以用最小表示乘上排列数形态为树的时候，会发现可以直接dp，k中颜色实际上都是相同的所以直接设\(dp[i]\)表示节点i每一种颜色的ans考虑结合两部分将原图变为一

2023-09-0514:52:07solution找路径很好找，我们随便跑个dfs树找个深度\(\ge\frac{n}{k}\)的路径输出即可。可是怎么找\(k\)个长度不是\(3\)的倍数的环呢？既然我们跑了dfs树，那么就没有横叉边，对于叶子节点非树边只有返祖边，然后一看这个很奇怪的条件——保证每个点度数大

欢迎批评指正！前置芝士什么是强连通分量（\(\text{SCC}\)）？强连通分量，一般指有向图的极大强连通子图，在这些子图中，所有点双向可达。dfs序：即dfs过程中访问点的顺序。dfs生成树：由dfs过程中访问的边组成的边集和原图的点集组成的树。树边，非树边：属于dfs过程中访问的边为

目录强连通分量dfs森林强连通分量dfs森林树边(treeedge)返祖边(backedge)

题面给定\(n\)个点\(m\)条边的无向图。现在要对每个点黑白染色。若能够使一条边连接的两点颜色相同，其他边连接的两点颜色不同，则这条边合法。求合法的边数。$2\leqn\leq10^5,1\leqm\leq2\times10^5$。图可能不连通，不保证没有重边。题解首先考虑转化一下题目

Tarjan首先是概念：极大强连通分量：不能再加入一点保持整个图强连通的图强连通分量：从任意一点能到达另一任意一点的图Tarjan原理树边 ：在树上（图中黑色边）横插边 ：从一棵子树到另一棵子树的边（图中绿色边）3、 返祖边 ：连到自己的祖先的边观察图，我们可以注意到：横插