本人太菜，实在不会 T3，所以只有 T1,T2 的题解。

注：考场上只做出来了 Day1 T1，其他题参考了其他人的题解。

Day1

T1

题面

有 \(a\) 个有电的电池和 \(b\) 个没电的电池，每次只能选择两个电池放进手电筒，只有这两个电池全有电才能让手电筒启动。问最坏情况下最少可以让手电筒启动的尝试次数。
多测。
数据范围： \(2 \le a \le 10^3，1 \le b \le 10^3，1 \le T \le 10^3\)。

题解

如果我们选择了两个电池 \(u,v\)，我们就在他们之间连一条无向边。
每一个方案对应一个无向图。
如果这个方案不可行，就意味着每一条边的两个端点都至少有一个没电的点，也即有电的点之间没有边。
所以方案不可行等价于这个图的最大独立集 \(\ge a\)。
于是我们可以 dp，设 \(f_{i,j}\) 表示 \(i\) 个点的图，最大独立集为 \(j\)，的最少边数。
边界：\(f_{i,i}=0,f_{i,1}=C_i^2\)。
转移：如果 \(j>1\)，那么为了让边数最少，此时的图一定不连通，枚举其中一部分，\(f_{x,y}+f_{i-x,j-y} \to f_{i,j}\)。
这个 dp 是 \(O(n^4)\)。
然后你打个表可以发现最优的情况一定是：\(x=\lfloor \frac{i}{j} \rfloor,y=1\)。
所以就优化成了 \(O(n^2)\)。