归并排序

归并排序（Merge Sort）是一种基于分治思想的高效排序算法。它将一个大的数组逐步分解为多个小数组，然后将这些小数组排序后再合并起来，最终得到一个有序的大数组。以下为你详细介绍：

1. 基本原理

1. 分解：将待排序的数组不断地分成两个大致相等的子数组，直到每个子数组只包含一个元素（单个元素的数组天然有序）。这个过程可以通过递归实现。
2. 合并：将两个或多个已排序的子数组合并成一个更大的有序数组。合并时，通过比较两个子数组的元素，依次将较小的元素放入结果数组中，直到所有元素都被合并。

2. 算法步骤

1. 分解步骤：
   • 找到数组的中间位置 mid，通常通过 (left + right) // 2 计算得到，其中 left 是数组的起始索引，right 是数组的结束索引。
   • 对左半部分数组 arr[left:mid + 1] 递归调用归并排序。
   • 对右半部分数组 arr[mid + 1:right + 1] 递归调用归并排序。
2. 合并步骤：
   • 创建两个临时数组 left_half 和 right_half，分别存储左右两个子数组的内容。
   • 使用两个指针 i 和 j 分别指向 left_half 和 right_half 的起始位置，再使用一个指针 k 指向要合并的目标数组 arr 的起始位置。
   • 比较 left_half[i] 和 right_half[j] 的大小，将较小的元素放入 arr[k] 中，并将相应的指针后移一位。
   • 如果其中一个子数组的元素全部放入 arr 中，将另一个子数组剩余的元素直接复制到 arr 中。

3. 代码实现

以下是Python语言实现归并排序的代码：

def merge_sort(arr):
    if len(arr) <= 1:
        return arr
    mid = len(arr) // 2
    left_half = arr[:mid]
    right_half = arr[mid:]

    left_half = merge_sort(left_half)
    right_half = merge_sort(right_half)

    return merge(left_half, right_half)


def merge(left, right):
    result = []
    i = j = 0
    while i < len(left) and j < len(right):
        if left[i] < right[j]:
            result.append(left[i])
            i += 1
        else:
            result.append(right[j])
            j += 1
    result.extend(left[i:])
    result.extend(right[j:])
    return result

4. 算法分析

• 时间复杂度：
  • 归并排序的分解过程会将数组不断二分，直到每个子数组只有一个元素，这个过程的深度为 \(logn\)。
  • 每层分解的合并操作，都需要对数组中的所有元素进行处理，操作次数为 n。
  • 因此，归并排序的时间复杂度在最好、最坏和平均情况下均为 \(O(nlogn)\)，其中 n 是数组的长度。
• 空间复杂度：
  • 归并排序在合并过程中需要创建临时数组来存储左右子数组的内容，这需要额外的空间。
  • 空间复杂度主要取决于临时数组的大小，在最坏情况下，临时数组的大小与原数组相同，所以空间复杂度为 \(O(n)\)。
• 稳定性：归并排序是稳定的排序算法。在合并过程中，当左右子数组中出现相等元素时，先将左边子数组中的元素放入结果数组，这样就保证了相等元素的相对顺序不变。