高阶庞加莱球涡旋光束
光的偏振态可以分为三大类，这三大类分别为：完全偏振光、完全非偏振光和部分偏振光。对于一束单色平面光波而言，其偏振态可以用四个参量来描述： S0、S1、S2、S3，这四个参量即是斯托克斯参量，可以表示为：
电矢量Ex、Ey为光束在x，y方向的分量。斯托克斯参量中的第一项S0表示了该单色平面光波的总光强，因此S0恒为一个正数。斯托克斯参量中的第二项S1表示了光矢量在x方向和y方向分量的强度差，根据S1的正负可以判断出是x方向分量占优势还是y方向分量占优势。斯托克斯参量中的第四项S3的正、负则分别表示了偏振态是右旋偏振态、左旋偏振态[1]。
斯托克斯参量中的S1、S2、S3可以看作是以S0为半径的球面Σ上点P的笛卡尔坐标，这个球就是著名的庞加莱球。光学矢量涡旋光束在空间非均匀偏振态的相位面上具有奇异性，具有许多潜在的应用。这些具有任意偏振和轨道角动量状态的光束可以映射到高阶庞加莱球上，如图1所示。对于单个高阶庞加莱球光束，其电场可以由高阶庞加莱球北极点和南极点复矢量振幅的叠加进行表示，即
其中，和
分别为高阶庞加莱球上的极化角和方位角，EN(r)=LG0,l(r)eR和ES(r)=LG0,-l(r)eL分别为高阶庞加莱球北极点和南极点电场，LG0,l(r)是径向系数为0，角向系数为l拉盖尔高斯光束，表示为：
图1：阶数1=3的高阶庞加莱球表征。和
分别为极坐标系下高阶庞加莱球的极化角和方位角[2]。
仿真结果展示：
我们根据上篇文章内容，在光强范围内选取一定的点计算对应的斯托克斯参量，继而得到对应的椭圆离心率和椭圆方位角。再根据光强和长半轴结合得到不同光强处的椭圆的大小。当线偏振时，线段画成蓝色，左旋圆偏振画成红色，右旋圆偏振画成绿色。仿真参数为：波长lambda=632.8e-6mm；波数k = 2 * pi / lambda；束腰w0=1；拓扑荷l=3。
图2：阶数1=3的高阶庞加莱球表征仿真。
参考文献
- 《全庞加莱光束的传输特性及其应用》
- 《Encoding Higher-Order Polarization States into Robust Partially Coherent Optical Beams》
MATLAB部分仿真代码
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clc;clear;close;
%% 坐标
N=512;
L=8;
delta=L/N;
[x,y]=meshgrid((-N/2:1:N/2-1).*delta);
[phi,r]=cart2pol(x,y);
%% 光束参数
lambda=632.8e-6;%mm
k = 2 * pi / lambda;
w0=1;
l=3;
%% 高阶庞加莱球光束
phi1=3*pi/4;phi2=1*pi/1;
IL=EL.*conj(EL);IL = IL./max(max(IL));
IR=ER.*conj(ER);IR = IR./max(max(IR)); %圆偏振
Ix=Ex.*conj(Ex);Ix = Ix./max(max(Ix));
Iy=Ey.*conj(Ey);Iy = Iy./max(max(Iy)); %垂直，水平线偏振
I=ER.*conj(ER)+EL.*conj(EL);I = I/max(max(I));%未经过偏振片光强
%% 斯托克斯参量
S0=Ix+Iy;
S1=Ix-Iy;
S2=Ex.*conj(Ey)+Ey.*conj(Ex);
S3=1i.*(Ex.*conj(Ey)-Ey.*conj(Ex));
figure()
colormap();pcolor(x,y,abs(I));axis square;axis off
hold on
if abs(SS3(ii,jj))<1e-16 %当线偏振时，画成蓝色
plot(real(xx),real(yy),'b-','LineWidth',2);
elseif SS3(ii,jj)<0 %左旋画成红色
plot(real(xx),real(yy),'r-','LineWidth',2);
elseif SS3(ii,jj)>0 %右旋画成绿色
plot(real(xx),real(yy),'g-','LineWidth',2);
end
end
end
hold off