斐波那契数列

标签：数列 公式 斐波 cdots 2021 那契

前情概要

斐波那契数列又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardoda Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是数列 \(1\) , \(1\) , \(2\) , \(3\) , \(5\) , \(8\) , \(13\) , \(\cdots\)，在数学上，斐波纳契数列以递归的方法定义 \(a_1=1\)，\(a_2=1\)，且满足 \(a_{n+1}\) \(=\) \(a_n\) \(+\) \(a_{n-1}\)，\(n\) \(\geqslant\) \(2\)；^[1]

图象绘制

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通项公式

• 斐波那契数列 \(\{a_n\}\) 的递推关系式满足条件：\(a_n=\left\{\begin{array}{l}1,&n=1\\1,&n=2\\a_{n-1}+a_{n-2},&n\geq 3\end{array}\right.\)，其通项公式如下：

\[a_n=\cfrac{1}{\sqrt{5}}\bigg[(\cfrac{1+\sqrt{5}}{2})^n-(\cfrac{1-\sqrt{5}}{2})^n\bigg] \]

详细求解过程，请参阅斐波那契数列通项公式的求解

斐波那契数列与黄金分割比

直接给结论：斐波那契数列相邻项比值的极限是 \(0.618\)，意思就是随着斐波那契数列越来越大，相邻两项的比值越来越接近 \(0.618\)，证明也非常简单，只要有大学高数的极限知识即可，

典例剖析

【与斐波那契数列有关的归纳推理】某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为\(1\)，\(1\)，\(2\)，\(3\)，\(5\)，则预计第10年树的分枝数为【\(\qquad\)】

$A.21$ $B.34$ $C.52$ $D.55$

分析：本题目涉及到的数列为“斐波那契数列”，其构成规律为：\(a_1=1\)，\(a_2=1\)已知，其他项由递推公式\(a_{n+2}\)\(=\)\(a_{n+1}\)\(+\)\(a_n\)，\(n\in N^*\)得到，

故\(a_6=8\)，\(a_7=13\)，\(a_8=21\)，\(a_9=34\)，\(a_{10}=55\)，\(a_{11}=89\)，故选\(D\)。

【2021\(\cdot\)上海模拟】著名的斐波那契数列 \(\{a_{n}\}\): \(1\)，\(1\)，\(2\)，\(3\)，\(5\)，\(8\)， \(\cdots\)， 满足 \(a_{1}\)\(=\)\(a_{2}\)\(=\)\(1\)， \(a_{n+2}\)\(=\)\(a_{n+1}\)\(+\)\(a_{n}\)\((n\in {N}^{*})\)，那么 \(1\)\(+\)\(a_{3}\)\(+\)\(a_{5}\)\(+\)\(a_{7}\)\(+\)\(a_{9}\)\(+\)\(\cdots\)\(+\)\(a_{2021}\) 是斐波那契数列中的第【\(\quad\)】项

$A.2020$ $B.2021$ $C.2022$ $D.2023$

解析： 因为 \(a_{1}\)\(=\)\(a_{2}\)\(=\)\(1\) ，所以

\(1\)\(+\)\(a_{3}\)\(+\)\(a_{5}\)\(+\)\(a_{7}\)\(+\)\(a_{9}\)\(+\)\(\cdots\)\(+\)\(a_{2021}\)

\(=\)\(a_{2}\)\(+\)\(a_{3}\)\(+\)\(a_{5}\)\(+\)\(a_{7}\)\(+\)\(a_{9}\)\(+\)\(\cdots\)\(+\)\(a_{2021}\)

\(=\)\(a_{4}\)\(+\)\(a_{5}\)\(+\)\(a_{7}\)\(+\)\(a_{9}\)\(+\)\(\cdots\)\(+\)\(a_{2021}\)

\(=\)\(a_{6}\)\(+\)\(a_{7}\)\(+\)\(a_{9}\)\(+\)\(\cdots\)\(+\)\(a_{2021}\)

\(=\)\(\cdots\)\(+\)\(a_{2019}\)\(+\)\(a_{2021}\)

\(=\)\(a_{2020}\)\(+\)\(a_{2021}\)\(=\)\(a_{2022}\) ，故选 \(C\) .

相关延申

函数的周期，\(f(x+2)=f(x+1)-f(x)\)，求周期；

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1. 斐波那契数列的通项公式的推导过程 ↩︎

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From： https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/18554714