中心极限定理

零基础到精通概率论的重要内容——中心极限定理

作者：bhh

一、证明的关键思路

　　本节目的为概括方法，并推动接下来的代数运算。

　　1、基础知识

　　　　（1）、矩母函数：具备一个随机变量各阶中心矩的函数（正如其名）

　　2、正题

　　　　为了证明Zn收敛于服从标准正态分布的随机变量Z，我们只需要证明当|t| < δ 时, MZn (t) → 　　MZ(t). 虽然矩母函数的收敛性貌似蕴含着相应概率密度函数的收敛性，但这是证明中最难的一步。因此我们需要正确地说明这一点。后续我们将会用到复分析里证明两个函数相等的方法，其中一种就是证明它们关于一大类测试函数又相同的积分。当然，困难在于（1）证明存在大量测试函数与其作用可以产生相等的积分，（2）证明积分相等会迫使函数相等。上述计算肯定存在问题。如果不知道被积函数是什么，我们如何证明积分相等呢？那么我们可以利用极限的思想，不去证明积分相等，而是证明某些极限是相等的，从而避免使用概率密度函数的精确卷积公式的痛苦。

二、中心极限定理的陈述

　　我们在概率中见过许多分布, 其中最重要的就是正态分布.。衡量某个量或概念对某个主题重要程度的一种方法是, 看一看我们使用了多少个不同的名称来指代它。对这个分布而言, 其名称包括正态分布、高斯分布和钟形曲线。

　　1、定义——正态分布

　　中心极限定理有很多版本.。它们之间的区别既包括假设条件又包括最终的收敛类型。不足为奇，我们假设的性质越好, 收敛性就越强, 证明也就越简单。这一点在我们学习数学分析的收敛时早有体会。接下来给出的这个定理，虽然不是最一般化的，但很容易陈述，并且我们遇到的大多数分布都能满足它的假设。

　　2、定理——中心极限定理（CLT）

　　　设X1，X2...，Xn时独立同分布的随机变量

 　　那么，当N → ∞ 时, Zn 的分布会收敛于标准正态分布。

　　 存在这么一种解释上述内容的方法：不妨认为样本总体是描述某个过程或某种现象的N个相互独立的测量值。那么就是这些值的平均数。且因为Xi均取自于某个常见的分布，并且期望具有线性性质，所以

　　又由Xi的独立性，我们易得

　　因此XN 的标准差是σ/√N。注意,当N →∞时,XN 的标准差趋向于0。这就引出了下列解释:随着测量次数的不断增加, 平均值的分布会越来越接近于真实的均值。把 Xn 的平均值记作 XN 是为了强调我们有 N 个随机变量的和。

 补充一下：我们在这里需要弄清楚什么是正态分布非常重要。他描述的是一群Xi，这些Xi可以服从一个“好”的分布。服从正态分布的是Xi的平均值。但平均值的分布似乎与Xi的分布形状（Xi的序列如何排列）无关？  关于这一感觉，是错觉——平均值怎么可能与选取随机变量的分布无关呢，事实上，平均值确实与最初的分布有关，然而这种关系非常微弱。我们不难看出，基本分布的形状决定了正态分布的收敛速度。

　　此外，我们要切记数学课上的基本概念，熟悉公式中的每一个字母。