贝叶斯网络——基于概率的图模型（详解）

        贝叶斯网络（Bayesian Network，简称BN）是一种基于概率图模型的表示方法，用于表示变量之间的依赖关系，并通过条件概率推断变量间的关系。它通过有向无环图（DAG）来描述变量之间的依赖关系，其中每个节点表示一个随机变量，边表示变量之间的条件依赖关系。 

基本概念

有向无环图（DAG）：

叶斯网络由一个有向无环图组成，其中每个节点通过有向边与其他节点相连。边的方向表示一个变量对另一个变量的条件依赖关系，且没有环路，即图中不存在从一个节点回到其本身的路径。

专家知识

专家知识可以理解为一系列定理或者已知结论，主要用于确定变量间的依赖关系。比如，根据科学知识，X影响Y，我们可以确定依赖关系： X→Y

条件依赖：

图中的边表示变量之间的条件依赖关系。如果节点A指向节点B，则节点B的值在已知节点A的条件下依赖于节点A的值。节点B的值与其父节点的值之间的关系通常通过条件概率分布（CPD）来描述。

依赖关系举例：A→B，A→C，B→C，B→A，C→A，C→B等等。

条件概率表（CPT）：

每个节点都有一个条件概率表，用来描述该节点在给定其父节点条件下的概率分布。如果一个节点没有父节点（即是根节点），那么它的条件概率表就是其边缘分布。

主要步骤

（一）随机变量的选择与定义

每个变量通常代表一个特征或事件，可能是离散的也可能是连续的。比如在医疗诊断中，变量可以是症状、疾病或治疗效果等。

举个例子：

目标：目标是评估一个人的信用风险（是否违约）。

基本变量（特征变量）：

• 信用历史（C）：个人的信用历史是否良好（好/差）

• 收入水平（A）：借款人的收入水平（高/低）

• 债务比率（D）：借款人债务与收入的比例（低/高）

• 负债历史（L）：借款人是否有过欠款记录（有/没有）

• 工作稳定性（W）：借款人是否有稳定的工作（有/没有）

• 等等

目标变量：

• 违约风险（R）：借款人是否有违约的风险（是/否）。

（二）学习网络结构

若没有专家知识，我们要确定变量间的依赖关系、并构建贝叶斯网络结构，就要从数据中去学习他们的关系，构建网络结构。

贝叶斯网络的核心部分是通过图结构表示变量之间的依赖关系。每个节点表示一个随机变量，边则表示一个条件依赖关系。

• 父节点与子节点：在图中，每个节点（变量）可能依赖于其他节点。通过“父节点”和“子节点”来描述依赖关系。父节点影响子节点的取值，子节点的值受到父节点的条件概率影响。

• 无环性：贝叶斯网络的图结构是有向无环图（DAG），即图中不存在回路。这保证了从某个节点出发无法沿着边回到同一个节点。

• 条件独立性假设：对于每个节点，条件独立性假设表明，节点在给定其父节点条件下，与其他未直接连接的节点是条件独立的。例如，如果变量A→B，而B→C，则在给定B的情况下，A和C是条件独立的。

学习贝叶斯网络的结构通常有两个步骤：结构学习和参数学习。

结构学习

        这一步骤的目标是从数据中推断出最佳的网络结构，即确定哪些变量是相互依赖的，通过某些方法选择合适的有向边，构建出网络结构。结构学习主要方法如下：

评分搜索方法（通常与贪心算法结合一起用）：

        其核心思想是通过计算每种可能边（或依赖关系）的“评分”，并选择得分最高的边，逐步构建网络结构。评分方法通过比较不同结构的好坏来搜索最佳网络结构。最常见的评分函数有：

• 对数似然：对数似然是基于给定数据的条件概率计算出的值。其值越高，说明网络结构对数据的拟合越好。对数似然函数：log⁡P(D∣G)，其中 D 是观测数据，G 是网络结构，表示数据在给定结构下的条件概率。

• 贝叶斯信息准则（BIC）：BIC是考虑模型复杂度的评分函数，它在对数似然上增加了一个惩罚项，避免过度拟合。BIC的公式是： ，其中，k 是网络中参数的数量，N 是样本量。较低的BIC值表示较优的模型。

约束搜索方法：

        与贪心算法不同，约束方法通过统计检验来推断节点之间的独立性，从而确定哪些边应当存在。约束方法的边选择不是基于评分函数的，而是基于条件独立性测试的结果。

• PC算法：首先初始化空网络，假设所有的变量之间都有边。然后通过一系列的条件独立性测试逐步去除不必要的边。具体来说，对于每对节点 X 和 Y，PC算法会测试它们在其他节点条件下是否独立。如果测试结果是独立的，则去掉这条边。

启发式搜索方法：

        启发式搜索方法采用随机化搜索的策略，目的是避免陷入局部最优解。与贪心算法类似，启发式方法也会逐步探索可能的边，但它们允许一定程度的“跳跃”，以避免陷入局部最优。

• 模拟退火：模拟退火是一个全局优化方法，可以避免贪心算法可能陷入局部最优解。它通过模拟物理过程中的退火过程，逐步降低系统的能量（类似于网络评分的最小化）。在搜索过程中，模拟退火允许某些不太优的选择，以此来跳出局部最优。

• 遗传算法：遗传算法通过模拟自然选择过程来寻找最优网络结构。首先，生成一组网络结构（种群），然后通过交叉和变异操作生成新的一代网络。每一代的网络结构都通过评分函数进行评估，优胜者会“繁殖”出下一代。

参数学习

        当网络结构确定后，下一步是计算每个节点的条件概率表（CPT，Conditional Probability Table）。对于离散变量，通常使用最大似然估计（MLE）来计算条件概率；对于连续变量，则可以使用贝叶斯估计或最大似然估计（MLE）来拟合分布参数。

贝叶斯估计、最大似然估计（MLE）在后面的例子会讲。

（三）模型评估

建立了贝叶斯网络之后，还需要通过模型验证来评估其性能。这可以通过交叉验证等方法进行，以确保贝叶斯网络在未知数据上的表现良好。

违约风险评估的贝叶斯网络模型(示例)

        假设我们有一组银行用户的数据，包含了多个特征，用于评估每个用户的违约风险。我们希望通过学习贝叶斯网络的结构和参数来预测用户是否会违约。贝叶斯网络将帮助我们理解特征之间的关系，并通过学习数据中的条件概率来进行预测。

（1）数据定义（数据准备）

目标变量：

• 是否违约（Default）：目标变量，用户是否违约，离散变量（是/否）

特征变量：

• 收入（Income）：用户的年收入，通常是连续变量。

• 信用分数（CreditScore）：用户的信用评分，通常是离散变量。

• 负债比率（DebtRatio）：用户的负债占收入的比例，通常是连续变量。

• 婚姻状况（MaritalStatus）：用户的婚姻状况，离散变量（已婚、未婚、离异等）。

• 历史违约（PastDefault）：用户过去是否有违约记录，离散变量（有违约、无违约）。

• 贷款金额（LoanAmount）：用户申请的贷款金额，连续变量。

（2）结构学习

我们首先需要确定特征之间的依赖关系。在没有专家知识的情况下，我们可以使用数据驱动的方法来学习贝叶斯网络的结构。使用评分搜索方法与贪心算法学习网络结构：

初始步骤

从一个空网络开始，所有变量之间没有任何边。

第一轮：

比较所有变量之间的依赖关系，计算每条边的评分（使用BIC示例）。例如：

• Income→DebtRatio  ，计算P(Income,DebtRatio)的评分

• P(CreditScore,Default)的评分

• P(Income,Default)的评分

• ......

• 选择评分最高的一条边，假设是Income→DebtRatio，表示收入影响负债比率。

贝叶斯信息准则（BIC）

评分公式：

其中，log⁡P(D∣G)，其中 D 是观测数据，G 是网络结构，N为样本量，k是网络中参数的数量

目标：求解出对数似然函数log⁡P(D∣G)，再求BIC

对于离散型数据（基于MLE极大似然估计求解）

对于每一个节点Xi，给定其父节点 的条件概率计算式为：

对每一个节点Xi，上式连乘，得到似然函数 P(D∣G)计算式：

最后得出BIC评分：

对于连续型数据（基于MLE极大似然估计求解）

对于连续型数据，假设节点 Xi 给定其父节点  服从某个已知的分布，常见的假设是条件分布为高斯分布。对于每一个节点Xi，给定其父节点 的条件概率计算式为：

其中：

对每一个节点Xi，得到似然函数 P(D∣G)计算式：

最后得出BIC评分：

第二轮：

更新网络，加入这条边后，计算其他可能的边的评分。例如：

• CreditScore→Default  ， P(CreditScore,Default)的评分

• P(DebtRatio,Default)的评分

• P(MaritalStatus,DebtRatio)的评分

• 等等

• 选择评分最优的边，假设是 DebtRatio→Default，表示负债比率影响违约风险。

后续轮次：

持续进行边的选择和添加，直到所有可能的依赖关系都被评估过，并且没有更好的边可添加。最后得到一个网络结构（可能是局部最优网络结构）。

贪心算法优点：

• 计算效率高：与全局搜索方法相比，贪心算法的计算量较小，适合大数据集。

• 简单易理解：贪心算法结构简单，实现起来相对容易。

贪心算法缺点：

• 可能陷入局部最优：贪心算法只考虑当前步骤最优的选择，容易陷入局部最优解，无法保证得到全局最优的网络结构。为了避免局部最优解，可以通过多次随机初始化并选择最优解来改善这一点。

（3）参数学习

学习得到一个网络结构后，我们需要学习（即计算）每个节点的条件概率分布表。

如果使用MLE计算：

离散型计算公式

连续型计算公式

如果使用贝叶斯估计

我们结合贝叶斯定理和全概率公式，得到条件概率计算公式：

 其中，Bi为当前节点的取值，A为父节点。

对于离散型，我们使用数据集的频率信息（出现次数）计算各种概率P，比如：

对于连续型，我们使用对应分布的概率密度函数计算各种概率P，比如：

参数学习计算出CPT以后，我们其实就得到了一个贝叶斯网络（图模型）。最后就是模型评估了，这里就不写了。

贝叶斯网络的优缺点

优点

• 表示复杂的依赖关系：贝叶斯网络能够清晰地表示变量之间的因果关系及其条件独立性，适用于描述复杂的因果模型。

• 灵活性强：可以处理离散和连续变量，支持不同类型的数据（如二元变量、整数、实数等）。

• 易于推理：通过贝叶斯推理，可以根据已有的证据推断其他变量的状态，适合不确定性较大的问题。

• 处理缺失数据：贝叶斯网络在数据缺失的情况下，仍能有效地进行推理和预测，能在一定程度上“填补”缺失数据。

• 直观易理解：网络的图形化结构使得贝叶斯网络容易被理解和解释，尤其是在非专业人员中。

缺点

• 结构学习困难：从数据中学习贝叶斯网络的结构是一项非常复杂的任务，尤其是在节点数目较多或数据量不足时，学习出的结构可能不准确。

• 计算复杂度高：对于大规模网络，尤其是涉及大量变量和条件概率的情况，推理和学习的计算复杂度较高，需要较大的计算资源。

• 依赖先验知识：贝叶斯网络需要依赖先验概率和条件概率表，这些信息有时需要人工设定，且可能会受到偏见的影响。

• 需要大量数据：尽管贝叶斯网络能处理不完全数据，但在大规模或复杂网络中，准确的学习和推断通常需要大量的训练数据。

应用场景

• 医疗诊断：贝叶斯网络能够将患者的症状、病史、检测结果等变量进行联合建模，从而推断疾病的可能性，特别适合处理不确定性较大的医学诊断任务。

• 故障诊断：在工业或系统监控中，贝叶斯网络可以帮助识别故障的原因并推断出可能的故障路径。

• 风险分析与管理：在金融、保险、工程等领域，贝叶斯网络用于建模复杂的风险因素，评估不同情境下的风险。

• 自然语言处理：在语言模型、语义分析和信息抽取等任务中，贝叶斯网络可用于建模词语、句子及其上下文之间的依赖关系。

• 机器学习中的特征选择和分类：贝叶斯网络有时用于特征选择，尤其是在面对高维数据时，利用其条件独立性来简化模型结构。

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