[NOIP2005 普及组] 采药
题目描述
辰辰是个天资聪颖的孩子，他的梦想是成为世界上最伟大的医师。为此，他想拜附近最有威望的医师为师。医师为了判断他的资质，给他出了一个难题。医师把他带到一个到处都是草药的山洞里对他说：“孩子，这个山洞里有一些不同的草药，采每一株都需要一些时间，每一株也有它自身的价值。我会给你一段时间，在这段时间里，你可以采到一些草药。如果你是一个聪明的孩子，你应该可以让采到的草药的总价值最大。”
如果你是辰辰，你能完成这个任务吗？
输入格式
第一行有 2 2 2 个整数 T T T（ 1 ≤ T ≤ 1000 1 \le T \le 1000 1≤T≤1000）和 M M M（ 1 ≤ M ≤ 100 1 \le M \le 100 1≤M≤100），用一个空格隔开， T T T 代表总共能够用来采药的时间， M M M 代表山洞里的草药的数目。
接下来的 M M M 行每行包括两个在 1 1 1 到 100 100 100 之间（包括 1 1 1 和 100 100 100）的整数，分别表示采摘某株草药的时间和这株草药的价值。
输出格式
输出在规定的时间内可以采到的草药的最大总价值。
样例 #1
样例输入 #1
70 3
71 100
69 1
1 2
样例输出 #1
3
提示
【数据范围】
- 对于 30 % 30\% 30% 的数据， M ≤ 10 M \le 10 M≤10；
- 对于全部的数据， M ≤ 100 M \le 100 M≤100。
【题目来源】
NOIP 2005 普及组第三题
题解
题目分析：
这是一个典型的 0-1 背包问题。我们拥有有限的总时间 T 以及若干种草药。每种草药都有其采摘所需的时间 t 以及对应的价值 v 。我们的目标是在给定的时间内，决定采摘哪些草药，从而使得总价值达到最大。
代码思路：
- 首先，通过输入操作读取给定的总时间
T和草药的数量m。cin>>T>>m; - 接着，使用两层循环来处理每一种草药和每个可能的时间点。
- 外层循环
i用于遍历每一种草药，从第一种到第m种。 - 内层循环
j用于遍历从1到T的每个时间点。
for(int i=1;i<=m;i++) { for(int j=1;j<=T;j++) { // 以下是具体的处理逻辑 } } - 外层循环
- 对于每个时间点
j，我们先将当前位置的值f[i][j]初始化为不选择当前草药时的最大价值，即上一轮（i - 1）在该时间点的最大价值f[i - 1][j]。f[i][j]=f[i-1][j]; - 然后，如果当前时间
j减去采摘当前草药所需的时间t还有剩余（即j - t >= 0），我们就比较选择当前草药所能获得的价值（即上一轮在时间j - t的最大价值加上当前草药的价值f[i - 1][j - t] + v）和不选择当前草药的价值（即当前的f[i][j]），并取两者中的较大值来更新f[i][j]。if(j-t>=0) { f[i][j]=max(f[i-1][j-t]+v,f[i][j]); } - 最后，输出在时间
T内能够获得的最大价值f[m][T]。cout<<f[m][T]<<endl;
这种动态规划的方法通过逐步计算和保存中间结果，巧妙地解决了在有限时间内选择草药以获取最大价值的复杂问题。
Code
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
// 总时间
int T;
// 草药数量
int m;
// 二维数组 f 用于存储中间计算结果
int f[110][1010];
// 解决采药问题的函数
void solve()
{
// 输入总时间和草药数量
cin>>T>>m;
// 遍历每一种草药
for(int i=1;i<=m;i++)
{
// 输入当前草药的采摘时间和价值
int t,v;
cin>>t>>v;
// 遍历每个时间点
for(int j=1;j<=T;j++)
{
// 初始化当前位置的值为上一种草药在该时间点的最大价值
f[i][j]=f[i-1][j];
// 如果当前时间减去采摘当前草药所需时间还有剩余
if(j-t>=0)
{
// 更新当前位置的值为选择当前草药和不选择的最大值
f[i][j]=max(f[i-1][j-t]+v,f[i][j]);
}
}
}
// 输出在给定时间内能够获得的最大价值
cout<<f[m][T]<<endl;
}
// 主函数
int main()
{
// 调用 solve 函数进行计算
solve();
return 0;
}