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[COCI 2011/2012 #5] EKO / 砍树

题目描述

伐木工人 Mirko 需要砍 \(M\) 米长的木材。对 Mirko 来说这是很简单的工作，因为他有一个漂亮的新伐木机，可以如野火一般砍伐森林。不过，Mirko 只被允许砍伐一排树。

Mirko 的伐木机工作流程如下：Mirko 设置一个高度参数 \(H\)（米），伐木机升起一个巨大的锯片到高度 \(H\)，并锯掉所有树比 \(H\) 高的部分（当然，树木不高于 \(H\) 米的部分保持不变）。Mirko 就得到树木被锯下的部分。例如，如果一排树的高度分别为 \(20,15,10\) 和 \(17\)，Mirko 把锯片升到 \(15\) 米的高度，切割后树木剩下的高度将是 \(15,15,10\) 和 \(15\)，而 Mirko 将从第 \(1\) 棵树得到 \(5\) 米，从第 \(4\) 棵树得到 \(2\) 米，共得到 \(7\) 米木材。

Mirko 非常关注生态保护，所以他不会砍掉过多的木材。这也是他尽可能高地设定伐木机锯片的原因。请帮助 Mirko 找到伐木机锯片的最大的整数高度 \(H\)，使得他能得到的木材至少为 \(M\) 米。换句话说，如果再升高 \(1\) 米，他将得不到 \(M\) 米木材。

输入格式

第 \(1\) 行 \(2\) 个整数 \(N\) 和 \(M\)，\(N\) 表示树木的数量，\(M\) 表示需要的木材总长度。

第 \(2\) 行 \(N\) 个整数表示每棵树的高度。

输出格式

\(1\) 个整数，表示锯片的最高高度。

样例 #1

样例输入 #1

4 7
20 15 10 17

样例输出 #1

15

样例 #2

样例输入 #2

5 20
4 42 40 26 46

样例输出 #2

36

提示

对于 \(100\%\) 的测试数据，\(1\le N\le10^6\)，\(1\le M\le2\times10^9\)，树的高度 \(\le 4\times 10^5\)，所有树的高度总和 \(>M\)。

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[TIPS]

本题考查二分查找这一算法，形如下文。

while (left <= right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        if (nums[mid] == target) {
            return mid;
        } else if (nums[mid] < target) {
            left = mid + 1;
        } else {
            right = mid - 1;
        }

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题解

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;
long long arr[10000010];


int main() {

    //录入n,m作为树木的数量，需要的木材总长度，和每棵树木的长度
    int n;
    long long m;
    scanf("%d%lld", &n, &m);

    for (int i = 0; i < n; i++) {
        scanf("%lld", &arr[i]);
    }

    // 排序
    sort(arr, arr + n);

    // 找到最长的木材, 作为右边界
    long long left = 0, right = arr[1];
    long long mid;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        if (arr[i] > right) right = arr[i]; 
    }

    // 二分查找
    while (left <= right) {
        mid = (left + right)/2;
        long long sum = 0;
        
        // 计算当前高度下能获得的木材总长度
        for (int j = 0; j < n; j++) 
            if (arr[j] > mid) sum += arr[j] - mid;


        if (sum<m) right = mid - 1; // 寻找更小的可能
        else left = mid + 1; // 寻找更大的可能

    }
    // 输出锯片的最高高度
    printf("%lld", right);
    return 0;
}

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根据他人题解分析，二分查找中的平均值计算方法(如下)可能会出现整数溢出的问题。

\[mid = (left + right)/2; \]

可以换成如下方法以避免溢出

\[mid = left + (right - left) / 2; \]

或者用如下位运算进行除2操作 (可能提高效率)

\[mid = left + (right - left) >> 1; \]

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结束语

没想到在这里还能学到markdown这种没听过的东西，感觉收获不少喜悦。同时感谢同学的博客激发我写下去，写好点的动力。

同学博客链接：砍树 - 土木牢盖 - 博客园

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