洛谷P1880 [NOI1995] 石子合并 题解

此题解以纪念我终于差不多大概搞懂区间dp了（插个存档点，到时候忘了再回来看看）。

P1880 [NOI1995] 石子合并 题解

在做这道题之前，可以看看 P1775 石子合并（弱化版）（一道题解帮你搞定两道题，多划算）。

P1775 石子合并（弱化版）

形式化的题面

一堆石头摆在你面前，让你把他们扔到一起，每次扔都要花你这两堆石头的重量的力气，让你找出最省力的方法。

思路

使用区间dp

我们先手算一遍样例（如图）

接下来我们就要将他换成一个流程，再编写成代码。

再看图，是不是我们就可以想到，枚举所有合并的区间。

1. 第一层循环从2到 n n n 枚举区间的长度 l e n len len。
2. 第二层循环去枚举这个区间的左端点 i i i ，那么这个区间的右端点就是显而易见的 i + l e n i+len i+len 。
3. 再枚举 l e n len len 长的区间枚举每个分割可能的位置 k k k ,使得 d p [ i ] [ j ] = d p [ i ] [ k ] + d p [ k + 1 ] [ j ] dp[i][j] = dp[i ][ k] + dp[k + 1][j] dp[i][j]=dp[i][k]+dp[k+1][j] ;所以我们的 k k k 从 i i i 开始枚举，到 j j j 结束 ( i < = k < j ) ( i <= k < j ) (i<=k<j)
4. 最后注意一下循环的范围就好了
5. 对于代价（体力），我们可以根据前缀和进行记录，在代码中，我用 s [ i ] s[i] s[i] 记录，那么区间 [ i ] [ j ] [i][j] [i][j] 的代价就是 s [ j ] − s [ i − 1 ] s[j]-s[i-1] s[j]−s[i−1]

根据上述思路写的代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int dp[310][310],s[310]={0},n,a[310];
int main()
{
	std::ios::sync_with_stdio(false);
    cin>>n;
    memset(dp,0x3f,sizeof(dp));
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
    	cin>>a[i];
    	s[i]=s[i-1]+a[i];//前缀和 
    	dp[i][i]=0;
	}
	for(int i=2;i<=n;i++)//模拟区间 
	{
		for(int j=0;j<=n-i+1;j++) 
		{
			int l=j+i-1;
			for(int k=j;k<l;k++)
			{
				dp[j][l]=min(dp[j][l],dp[j][k]+dp[k+1][l]+s[l]-s[j-1]);
			}
		}
	}
	cout<<dp[1][n];
    return 0;
}

P1880 [NOI1995] 石子合并

再看一下这道题，我们只需再加一个max就好了。

请注意，这道题有环，那我们该怎么处理呢？

• 可以通过复制一遍这个数组，环转链就行了，在这道题中，
  4 9 5 4就可以处理为4 9 5 4 4 9 5 4就行了

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int dpma[310][310]={0},dpmi[310][310]={0},s[310]={0},n,a[310],ma=0,mi=0x3f3f3f;
int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false);
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
    	cin>>a[i];
    	a[i+n]=a[i];
    	s[i]=s[i-1]+a[i];
	}
	for(int i=n+1;i<=2*n;i++)//环状处理 
	{
		s[i]=a[i]+s[i-1];//前缀和 
	}
	for(int len=1;len<n;len++)//区间[i,j]的长度 
	{
		for(int i=1;i<=2*n-len;i++)//枚举左端点 
		{
			int j=i+len;//右端点显而易见 
			dpmi[i][j]=0x3f3f3f;//在枚举min的时候，我们要将这个mi放大，毕竟自然数中，没有比0小的数了。 
			for(int k=i;k<j;k++)
			{
				dpmi[i][j]=min(dpmi[i][j],dpmi[i][k]+dpmi[k+1][j]+s[j]-s[i-1]);
				dpma[i][j]=max(dpma[i][j],dpma[i][k]+dpma[k+1][j]+s[j]-s[i-1]); 
				//cout<<"mi:"<<dpmi[i][j]<<" ma:"<<dpma[i][j]<<endl; 
			}
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		//我们要得到的是整个链的结果，所以当i为起点，那么len=n，结尾就是i+n-1 
		ma=max(ma,dpma[i][i+n-1]);//整个链 
		mi=min(mi,dpmi[i][i+n-1]);
	}
	cout<<mi<<endl<<ma;
    return 0;
}