运动旋量引用于正向运动

 假设{4}的原点，是最后的端点，那么先让机器人复位，回到最初始的位姿：

 回顾：

https://www.cnblogs.com/pylblog/p/18085153

 只需要知道{ω,q, θ}，就可以获得一个转换：在b处的位姿，转换到c处的位姿，而且位姿都是相对于统一固定坐标系s的

那么，可以：

第一步：

1.  容易通过机械设计结构，得到 {4} 的初始位置，T₀₄₍₀₎

2.  假设只有 关节{3} 发生旋转，那么，容易得到：

 那么，马上可以得到： 

 第二步：

 那么，也容易得到：

  那么，马上可以得到：

那么，经过类似的变化，就可以的到最终的结果：

 其结果，等价于各个关节的位姿T相连：

 区别：

1. 使用旋量计算，最后的T是相对于世界系的，从后往前；对于三维的计算，不需要考虑每个关节的坐标系相对于前一个关节是如何的。

2. 而后者是局部的位姿，从前往后；

使用运动旋量的方式计算位置，称为PoE（Product of Exponential）指数积公式

其关键是：将每个关节的螺旋运动施加给后面的干

首先，需要准确知道，末端关节的初始位姿M（是相对于{0}系的，不是相对于上一个的）

（M最简单的获取方式，就是将各个关节“归零”，然后根据机械图纸直接推得）

末端的前一个关节，假设为第N个关节，那么，如果有如下变量：

1.  θ_n：第n关节的旋转量。（如果第n关机是移动关节，那么 θ_n是移动的距离）

2. S_n = [ ω_n, v_n] ，vn = -[ω_n] q_n ， q_n按照几何的定义，可以是沿转轴上的的任意一点 。（所以q并不重要，它只是辅助用的）

（如果第n关机是移动关节，ω_n = 0， 而vn是沿关节正向运动的单位向量）

3. 以上v_n，ω_n都是相对于{0}系下的向量

那么，第N关节的运动，使得末端关节的位姿从M变换为位姿T（相对于{0}的位姿）：

 （从这个图可以看出，不在乎{0}系是否在底座的关节上，反正ω, v都是相对于{0}系的）

 各个S，都是可以在归零位的时候就确定下来的，图纸上就可以直接得到

 分析如下关节：

末端关节的位姿：

1. {0}系和{1}系，在开始时刻，是重合的

2. 末端关节和{3}系，在开始时刻，也是重合的

那么，末端关节位姿，有：

 x 轴在{0}系的 [0,0,-1]方向。

 y 轴在{0}系的 [0,1,0]方向。

 z 轴在{0}系的 [1,0,0]方向。

原点在[L₁,0,-L₂]处

 各个关节的螺旋轴：

i = 3：旋转轴ω，在{0}系下，ω = [1,0,0] ;

v = - [ω] q，q只需要沿ω轴上的任意一点，所以可以选择为，在{0}系下，q = [0,0,-L₂]

所以，v = [0,L₂,0]

i = 2：旋转轴ω，在{0}系下，ω = [0,-1,0] ; 在{0}系下，q = [L₁,0,0]，所以，v = [0,0,-L₁]

i = 1：旋转轴ω，在{0}系下，ω = [0,0,1] ;  在{0}系下，q = [0,0,0]，所以，v = [0,0,0]

（这种定义方式，确实要比D-H表方式更加简单）

 注意到

i = 3时，是移动关节，所以：

ω = [1,0,0]

v = [0,1,0]，是运动方向向量

θ为移动的距离。

基于此，尝试代入：

 由此可见，这种方式“凑”的转换矩阵，就是平移用的