P9192 [USACO23OPEN] Pareidolia P 题解

首先自然考虑不带修的情况。

考虑问题的本质就是求序列中 尽量短 的 bessie 序列个数。对于 尽量短 的理解是对于 bessiebessie 序列，不考虑其由 \(1,8\sim 12\) 构成的序列，只考虑 \(1\sim 6,7\sim 12\) 组成的序列。

于是考虑 dp：设 \(dp_{i,j}\) 表示前 \(i\) 个字符，下一个匹配的是 bessie 第 \(0\sim 5\) 位置的数量。注意 dp 时维护 尽量短 的序列要求是维护新的字符转移后删去原有字符的贡献，这样的 dp 记录的是每一个 bessie 结尾处的贡献，于是对答案前缀和。具体见代码：

#include <bits/stdc++.h>
#define N 200005
#define M 6
#define int long long
using namespace std;
int T;
int n;
string s;
int dp[N][M];
void keep() {
	int res = 0;
	int ans = 0;
	memset(dp, 0, sizeof dp);
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		for (int j = 0; j < M; j++)
			dp[i][j] = dp[i - 1][j];
		if (s[i] == 'b') {
			dp[i][1] += dp[i][0];
			dp[i][0] = 0;
		}
		else if(s[i] == 'e') {
			dp[i][2] += dp[i][1];
			dp[i][1] = 0;
			ans += dp[i][5];
			dp[i][0] += dp[i][5];
			dp[i][5] = 0;
		}
		else if(s[i] == 's') {
			dp[i][4] += dp[i][3];
			dp[i][3] = 0;
			dp[i][3] += dp[i][2];
			dp[i][2] = 0;
		}
		else if (s[i] == 'i') {
			dp[i][5] += dp[i][4];
			dp[i][4] = 0;
		}
		if (s[i] == 'b') ++dp[i][1];
		else ++dp[i][0];
		res += ans;
	}
	cout << res << "\n";
}
signed main() {
	cin >> s;
	n = s.size();
	s = " " + s;
	cin >> T;
	keep();
	while (T--) {
		int x;
		char v[4];
		scanf("%lld%s", &x, v);
		s[x] = v[0];
		keep();
	}
	return 0;
}

对于带修的情况，考虑 dp 的转移维度很少，是近似线性的，考虑矩阵优化，建出矩阵线段树维护动态 dp 即可。

代码：

#include <bits/stdc++.h>
#define N 200005
#define M 9
#define int long long
using namespace std;
string s;
int T;
int n;
struct Mat {
	int a[M][M];
	Mat() {
		memset(a, 0, sizeof a);
	}
};
Mat operator * (Mat a, Mat b) {
	Mat res;
	for (int i = 0; i < M; i++)
		for (int j = 0; j < M; j++)
			for (int k = 0; k < M; k++)
				res.a[i][j] += a.a[i][k] * b.a[k][j];
	return res;
}

Mat newnode(char c) {
	Mat a;
	for (int i = 0; i < M; i++)
		a.a[i][i] = 1;
	if (c == 'b') {
		a.a[8][1] = 1;
		a.a[0][1] = 1;
		a.a[0][0] = 0;
	}
	else if(c == 'e') {
		a.a[8][0] = 1;
		a.a[1][2] = 1;
		a.a[1][1] = 0;
		a.a[5][6] = 1;
		a.a[5][7] = 1;
		a.a[5][0] = 1;
		a.a[5][5] = 0;
	}
	else if(c == 's') {
		a.a[8][0] = 1;
		a.a[3][4] = 1;
		a.a[3][3] = 0;
		a.a[2][3] = 1;
		a.a[2][2] = 0;
	}
	else if(c == 'i') {
		a.a[8][0] = 1;
		a.a[4][5] = 1;
		a.a[4][4] = 0;
	}
	else a.a[8][0] = 1;
	a.a[6][7] = 1;
	return a;
}
#define lc (p << 1)
#define rc (lc | 1)
Mat e[N << 2];
void push_up(int p) {
	e[p] = e[lc] * e[rc];
}
void build(int p, int l, int r) {
	if (l == r)
		return e[p] = newnode(s[l]), void();
	int mid = (l + r) >> 1;
	build(lc, l, mid);
	build(rc, mid + 1, r);
	push_up(p);
}
void update(int p, int l, int r, int x) {
	if (l == r && l == x)
		return e[p] = newnode(s[l]), void();
	int mid = (l + r) >> 1;
	if (x <= mid) update(lc, l, mid, x);
	else update(rc, mid + 1, r, x);
	push_up(p); 
}

void kudo() {
	Mat bas;
	bas.a[0][8] = 1;
	bas = bas * e[1];
	cout << bas.a[0][7] << '\n';
}

signed main() {
	cin >> s;
	n = s.size();
	s = " " + s;
	build(1, 1, n);
	kudo();
	cin >> T;
	while (T--) {
		int x;
		char v[4];
		scanf("%lld%s", &x, v);
		s[x] = v[0];
		update(1, 1, n, x);
		kudo();
	}
	return 0;	
}