MLP

多层感知器（MLP）在深度学习和科学任务中的一些主要问题包括​：

固定的激活函数：MLP的激活函数通常是固定的，应用在网络节点（神经元）上，这限制了模型的表达能力。相较之下，KAN允许在边缘（权重）上使用可学习的激活函数，使模型更具适应性和灵活性。

维度诅咒（Curse of Dimensionality）：MLP在高维数据中难以捕捉数据的合成结构，因此在处理高维函数时需要大量参数。这种增长会导致计算资源的浪费和效率的下降，尤其是在维度较高的情况下。而KAN通过样条和可学习的激活函数能够有效缓解这一问题。

可解释性不足：MLP模型中的权重和激活函数通常较难直接解释，因此难以直观理解模型是如何处理输入数据的。这对科学发现和符号回归等应用中的需求不匹配，而KAN通过结构设计在可视化和可解释性上更具优势。

扩展能力受限：MLP模型的扩展通常依赖于增加神经元的数量或层数来提高表现，但这种“神经缩放法则”扩展速度较慢，且训练成本较高。而KAN通过调整样条网格的细粒度（即“网格扩展”），可以逐步提升模型精度而无需重新训练。

KAN

KAN（Kolmogorov-Arnold Networks）相较于传统的多层感知器（MLP）具有以下优势​：

精确性：在小规模的AI和科学任务中，KAN能够比MLP达到更高的准确性。KAN能够在较小规模的情况下完成相似或更高的准确度，因为它们能够更好地拟合低维函数，并在有合成结构的数据中击败维度诅咒，从而达到更好的缩放法则。

可解释性：KAN网络的结构使其更具直观性，能够便于科学家进行可视化和交互，支持科学发现中的符号回归和法则重现等任务。

扩展性：KAN通过其“网格扩展”方法，可以在不从头训练的情况下，通过精细化其样条网格来提升准确性。

为了进一步提升KAN的性能，文档中提出了一些方法：

网格扩展（Grid Extension）：可以通过增加样条网格的精度来提升KAN的准确性。
简化和剪枝（Simplification and Pruning）：引入正则化和稀疏化技术，帮助KAN自动发现适配数据结构的最小网络结构，使得KAN网络更为简洁和易于解释。
这些方法不仅使KAN在高维任务中保持较好的表现，还提高了模型的可解释性和用户交互性，使得KAN成为MLP的一种有前途的替代方案

网格扩展

设置初始网格：首先，在一个固定的区间上（例如[a, b]）定义一个粗粒度的网格，比如将区间分为少量的区间点，形成初始的粗网格。这些初始网格点用来生成B样条的基函数，从而表达目标函数。

训练粗粒度网格模型：使用粗粒度的网格进行初始训练，通过LBFGS等优化方法调整网格中的参数，得到一个基础的近似模型。

扩展网格：在初始训练完成后，将粗粒度网格扩展为更精细的网格。例如，将网格的分割数从3增加到5、10、20等，逐步增加样条的分割数量，使得模型能更精确地拟合目标函数。这种扩展可以通过在原始区间内添加更多的网格点实现。

最小二乘法优化：将新网格的样条参数初始化为旧网格的参数，通过最小二乘优化算法来调整新的样条系数，使其在新网格上尽量贴近原始粗网格的拟合结果。这样无需重新训练整个模型，而是通过局部调整来提高精度。

循环更新：重复上述步骤，不断增加网格的精细度，直到达到所需的精度。每次网格扩展后，模型的训练误差会先降低，然后逐渐稳定。适当的精细度可以在减少偏差的同时避免过拟合