套利定理的证明

内容来源

数理金融初步（原书第3版）Sheldon M. Ross著 冉启康译 机械工业出版社

先看上篇套利定理

线性规划中的对偶定理

这部分是运筹学的内容

原问题与对偶问题的形式

原问题

max ⁡ ∑ i = 1 n c i x i s . t . ∑ i = 1 n a i j x i ⩽ b j ( j = 1 , ⋯   , m ) \begin{align*} &\max\sum^n_{i=1} c_ix_i\\ &s.t.\sum^n_{i=1} a_{ij}x_i\leqslant b_j(j=1,\cdots,m) \end{align*} ​maxi=1∑n​ci​xi​s.t.i=1∑n​aij​xi​⩽bj​(j=1,⋯,m)​

对偶问题

min ⁡ ∑ j = 1 m b j y j s . t . ∑ j = 1 m a i j y j = c i ( i = 1 , ⋯   , n , y j ⩾ 0 ) \begin{align*} &\min\sum^m_{j=1} b_jy_j\\ &s.t.\sum^m_{j=1} a_{ij}y_j=c_i(i=1,\cdots,n,y_j\geqslant0) \end{align*} ​minj=1∑m​bj​yj​s.t.j=1∑m​aij​yj​=ci​(i=1,⋯,n,yj​⩾0)​

对偶定理

如果一个线性规划原问题及其对偶问题都是可行的，那么他们都有最优解并且最优值相等。如果这两个问题中的任何一个是不可行的，那么另外一个不存在最优解

套利定理的证明

设 x n + 1 x_{n+1} xn+1​ 表示稳赢的金额，让这个数额最大化

与赌博策略 ( x 1 , ⋯   , x n ) (x_1,\cdots,x_n) (x1​,⋯,xn​) 组成原问题

max ⁡ x n + 1 s . t . ∑ i = 1 n + 1 x i r i ( j ) ⩾ x n + 1 \begin{align*} &\max x_{n+1}\\ &s.t.\sum^{n+1}_{i=1}x_ir_i(j)\geqslant x_{n+1} \end{align*} ​maxxn+1​s.t.i=1∑n+1​xi​ri​(j)⩾xn+1​​

令 a i j = − r i ( j ) , a ( n + 1 ) j = 1 a_{ij}=-r_i(j),a_{(n+1)j}=1 aij​=−ri​(j),a(n+1)j​=1，则上面的线性规划可重写为

max ⁡ x n + 1 s . t . ∑ i = 1 n + 1 a i j x i ⩽ 0 \begin{align*} &\max x_{n+1}\\ &s.t.\sum^{n+1}_{i=1}a_{ij}x_i\leqslant0 \end{align*} ​maxxn+1​s.t.i=1∑n+1​aij​xi​⩽0​

这个原问题是可行的 x i = 0 x_i=0 xi​=0 满足约束条件

注意，在上面的线性规划问题中 c 1 = ⋯ = c n = 0 , c n + 1 = 1 , b j = 0 c_1=\cdots=c_n=0,c_{n+1}=1,b_j=0 c1​=⋯=cn​=0,cn+1​=1,bj​=0

因此，其对偶问题为

min ⁡ 0 s . t . { ∑ j = 1 m a i j y j = 0 , i ≠ n + 1 ∑ j = 1 m a i j y j = 1 , i = n + 1 y j ⩾ 0 \begin{align*} &\min0\\ &s.t.\begin{cases} \sum^m_{j=1} a_{ij}y_j=0,i\ne n+1\\ \sum^m_{j=1} a_{ij}y_j=1,i=n+1\\ y_j\geqslant0 \end{cases} \end{align*} ​min0s.t.⎩ ⎨ ⎧​∑j=1m​aij​yj​=0,i=n+1∑j=1m​aij​yj​=1,i=n+1yj​⩾0​​

由 a i j a_{ij} aij​ 的定义，这个对偶问题可表示为

min ⁡ 0 s . t . { ∑ j = 1 m r i ( j ) y j = 0 , i ≠ n + 1 ∑ j = 1 m y j = 1 y j ⩾ 0 \begin{align*} &\min0\\ &s.t.\begin{cases} \sum^m_{j=1} r_i(j)y_j=0,i\ne n+1\\ \sum^m_{j=1} y_j=1\\ y_j\geqslant0 \end{cases} \end{align*} ​min0s.t.⎩ ⎨ ⎧​∑j=1m​ri​(j)yj​=0,i=n+1∑j=1m​yj​=1yj​⩾0​​

这三个约束条件刚好满足概率测度的定义和期望收益为零的要求

如果这个对偶问题是可行的

根据对偶定理，这个对偶问题有最优解 ( y 1 , ⋯   , y n ) (y_1,\cdots,y_n) (y1​,⋯,yn​)，这就是那个使所有赌博的期望收益均为零点概率测度

且原问题的最优解是零，因此稳赢是不可能的

如果这个对偶问题不可行

那么原问题无最优解，至少 0 0 0 不是最优解

因此就存在一个最小收益为正的赌博策略，即存在套利机会