来源 | 新智元 ID | AI-era
两年前，两位高中在读的学生发现了全新的勾股定理证明方法。
遗憾的是，当时并没有更具体的论文，以提供实质性细节。
就在最近，两人的全新论文，在《美国数学月刊》上正式发表了！
论文地址：https://www.tandfonline.com/doi/full/10.1080/00029890.2024.2370240#abstract
在这篇论文中，两位作者找到了至少五个证明，与任何标准的已知证明都没有明显的相似。
陶哲轩对这项工作称赞不已。
他表示，怎样精确定义两个证明是否相同，是很微妙的。
以往的数学家证明勾股定理，用的多是代数或几何的方法。
然而这两个学生，却采用了一种「三角学」的方法。（作为数学的一个分支，「三角学」主要研究的是三角形的变长和角度之间的关系，尤其是直角三角形。）
具体来说，她们采用了一种主要基于句法的方法：在她们看来，如果一个证明避免使用圆（或坐标），但本质上使用角度，就可以被视为「三角学」证明。
就这样，她们找到了至少5个不同的证明，比如其中一个证明就涉及几何级数求和。
Ne’Kiya Jackson和Calcea Johnson
所以，是否存在「语义」方式，来区别这些证明呢？
陶哲轩表示，理论上这种方式应该是存在的，因为在某些欧几里得几何的变种中，或许本文中的证明有的有效，有的无效，反之亦然。
但即使有没有这种语义方式做区分，两位学生的研究仍然非常引人入胜。
因为——即使是数学中最古老、最基础的结果，有时也可以找到全新的证明角度！
仔细看这个视频，你会注意到真正懂数学的高中生讲起数学题来，是怎样的语气和神情。
，时长01:13
古老的勾股定理
勾股定理（亦称毕达哥拉斯定理）是平面几何中一个基本而重要的定理，也是人类早期发现并证明的重要数学定理之一：
平面上的直角三角形的两条直角边的长度（较短直角边为勾长、较长直角边为股长）的平方和等于斜边长（弦长）的平方。反之，若平面上三角形中两边长的平方和等于第三边边长的平方，则它是直角三角形（直角所对的边是第三边）。
勾股定理可考的严谨数学证明，起源于欧几里得《几何原本》中卷一的命题47。
如今，已经有了四百多个证明，诸如微分证明、面积证明等。
一道高中竞赛题，500美元奖金
有趣的是，这项震惊数学圈的证明，催化剂竟是一道高中数学竞赛的附加题。
这道题要求找出一种全新的勾股定理证明方法（真是一个敢想，一个敢做）
因为有500美元奖金，两位学生决定尝试一把。
结果两人发现，这比想象的要困难得多……
她们度过了很多个不眠之夜，尝试找到一个证明，却屡屡失败。
好在经过一个月的脑力大爆炸后，两人都找出了新的解法。
她们高中的数学志愿者Rich认为，她们的证明足够新颖，足以在数学会议上展示，因为通常只有专业数学家和大学生才会受邀。
她们开始并没有信心，但还是决定参与。就是这时两人开始展开合作。
接下来的两三个月，两人把课后、周末、假期的所有时间都用来打造这篇论文。
令人惊讶的是，两位高中生的作品得到了认真对待，并被批准在2023年3月的美国数学学会东南分会会议上展示——于是两人成为房间里最年轻的演讲者。
随后，AMS鼓励两人把研究成果提交到学术期刊。
两人从没有为学术期刊写论文的经验，同时还在适应大学环境，需要应付小组论文、实验室数据分析、学习用LaTeX写代码等等任务。
两人表示，在家人和社区的支持下，我们坚持了下来，这段路途绝对不是简单的。
没有现成的路线图，没人保证论文一定能发表。
有很多次，她们都想放弃这件事，好在最终，两人坚持了下来。
令人困惑的三角学
而在这次发表的研究中，两位学生介绍道：在数学中，或许没有哪个学科比三角学更让高中生感到困惑了。
三角学为什么如此令人困惑？或许一个原因是，存在两种不同的方法来定义相同的三角学术语。
图1倒是展示了这些方法是如何被协调的，但结果却适得其反——
学生们或许不会意识到，这两个互不相同的三角学体系，已经被套在了相同的术语上，所以理解起来极其困难。
图1：被作者称为「数学中危害最大的图」
两位作者表示，避免混淆最合理的方法，就是给它们不同的名称，来反映背后不同的理念。
实际上，这些方法中只有一种是三角学的，专注于这个真正的版本，就可以发现大量全新的勾股定理证明！
何为三角函数证明
「trigonometry」这个词来源于希腊词「trigonon」（三角形）和「metron」（测量），因此三角函数是通过测量三角形而得到的。
实际上，三角比中的正弦（sine）和余弦（cosine）定义为锐角
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