分层图求最短路

速度限制

题目描述

在这个繁忙的社会中，我们往往不再去选择最短的道路，而是选择最快的路线。开车时每条道路的限速成为最关键的问题。不幸的是，有一些限速的标志丢失了，因此你无法得知应该开多快。一种可以辩解的解决方案是，按照原来的速度行驶。你的任务是计算两地间的最快路线。

你将获得一份现代化城市的道路交通信息。为了使问题简化，地图只包括路口和道路。每条道路是有向的，只连接了两条道路，并且最多只有一块限速标志，位于路的起点。两地 $A$ 和 $B$，最多只有一条道路从 $A$ 连接到 $B$。你可以假设加速能够在瞬间完成并且不会有交通堵塞等情况影响你。当然，你的车速不能超过当前的速度限制。

输入格式

第一行是 $3$ 个整数 $N$，$M$ 和 $D$（$2\leq N\leq 150$，$1\leq M\leq 22500$），表示道路的数目，用 $0 \sim N-1$ 标记。$M$ 是道路的总数，$D$ 表示你的目的地。

接下来的 $M$ 行，每行描述一条道路，每行有 $4$ 个整数 $A$（$0\leq A<N$），$B$（$0\leq B<N$），$V$ （$0\leq V\leq 500$）和 $L$（$1\leq L\leq 500$），这条路是从 $A$ 到 $B$ 的，速度限制是 $V$，长度为 $L$。如果 $V$ 是 $0$，表示这条路的限速未知。

如果 $V$ 不为 $0$，则经过该路的时间 $T=\frac{L}{V}$。否则 $T=\frac{L}{\text{Vold}}$，$\text{Vold}$ 是你到达该路口前的速度。开始时你位于 $0$ 点，并且速度为 $70$。

输出格式

输出文件仅一行整数，表示从 $0$ 到 $D$ 经过的城市。

输出的顺序必须按照你经过这些城市的顺序，以 $0$ 开始，以 $D$ 结束。仅有一条最快路线。

样例 #1

样例输入 #1

6 15 1
0 1 25 68
0 2 30 50
0 5 0 101
1 2 70 77
1 3 35 42
2 0 0 22
2 1 40 86
2 3 0 23
2 4 45 40
3 1 64 14
3 5 0 23
4 1 95 8
5 1 0 84
5 2 90 64
5 3 36 40

样例输出 #1

0 5 2 3 1

考虑分层图。

建数组$dis[i][j]$表示从出发点到$i$点，速度为$j。vis[i][j]$表示从出发点到$i$，速度为$j$是否访问过。

为得到最短的路线，可以建一个$from[i][j]$数组，表示从出发点到$i$，速度为$j$的最短路的上一个点。最后跑一遍堆优化的$dijkstra$即可。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=160,M=510;
struct Node{
    int to,v;
    double l;
    Node(int to=0,int v=0,double l=0):to(to),v(v),l(l) {}
};
int n,m,t;
double dis[N][M];
pair<int,int> lst[N][M];
int vis[N][M];
vector<Node> g[N];
vector<int> ans;
void bfs(){		//dijkstra
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=M;j++) dis[i][j]=2e9;
    }
    dis[1][70]=0;
    priority_queue<pair<double,pair<int,int> > > pq;
    pq.emplace(0,make_pair(1,70));
    while(!pq.empty()){
        int u=pq.top().second.first;
        int o=pq.top().second.second;
        pq.pop();
        if(vis[u][o]) continue;
        vis[u][o]=1;
        for(auto v:g[u]){
            if(v.v&&dis[v.to][v.v]>dis[u][o]+v.l/v.v){		//有速度限制
                dis[v.to][v.v]=dis[u][o]+v.l/v.v;
                lst[v.to][v.v]=make_pair(u,o);
                pq.emplace(make_pair(-dis[v.to][v.v],make_pair(v.to,v.v)));
            }
            if(!v.v&&dis[v.to][o]>dis[u][o]+v.l/o){		//无速度限制
                dis[v.to][o]=dis[u][o]+v.l/o;
                lst[v.to][o]=make_pair(u,o);
                pq.emplace(make_pair(-dis[v.to][o],make_pair(v.to,o)));
            }
        }
    }
}
int main(){
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&t);
    t++;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int u,v,l,d;
        scanf("%d%d%d%d",&u,&v,&l,&d);
        u++;v++;
        g[u].emplace_back(v,l,d);
    }
    bfs();
    pair<int,int> now;
    double maxn=2e9;
    for(int i=1;i<M;i++){
        if(dis[t][i]<maxn){
            maxn=dis[t][i];
            now=make_pair(t,i);
        }
    }
    while(now.first){
        ans.push_back(now.first-1);
        now=lst[now.first][now.second];
    }
    reverse(ans.begin(),ans.end());
    // reverse(ans.begin(),ans.back());
    for(auto v:ans) printf("%d ",v);
    return 0;
}