P3577 [POI2014] TUR-Tourism

可能很多人看到这道题既可以从父亲更新到儿子，又可以从儿子更新到父亲的时候，很多人都跟我一样是这样的：

于是这里分享一下我的一种思考。

直径 \(\le 10\)，可以先求出 DFS 生成森林，这样树高不超过 \(10\) 且没有横叉边，我们使返祖边是通过祖先限制后代，于是可以记录节点到根节点所有点的状态，共三种：

• \(0\)：这个点选择了

• \(1\)：这个点没选择且相邻点没有选择（没被覆盖）

• \(2\)：这个点没选择且相邻点有选择（被覆盖）

首先求出这个树的欧拉序，下文中 \(x_i\) 表示欧拉序第 \(i\) 个位置的节点编号。

令 \(f_{i,j}\) 表示考虑欧拉序前 \(i\) 个位置，\(x_i\) 到根的路径上的状态为 \(j\) 时的最小代价。由于一个节点需要受到其祖先节点状态的限制，所以每个节点的决策（选或不选）应该在其欧拉序中第一个位置进行。
考虑 \(i-1\to i\) 的一次转移，假设之前的状态为 \(s=j\)。

• 如果 \(x_{i-1}=fa_{x_i}\) 也就是说这是一条向下的边，考虑 \(x\)的的决策：

  • 如果 \(x_i\) 选择，那么当前节点的状态无论如何都是 \(0\)，考虑与 \(x_i\) 有边的一个祖先 \(z\)：

    • 如果 \(z\) 的状态为 \(0，2\)，则 \(s\) 不作改变。

    • 如果 \(z\) 的状态为 \(1\)，则 \(s\to s+2\times 3^{dep_z}\)。

  • 如果 \(x_i\) 不选择，那么看当前节点有没有被自己的祖先覆盖：

    • 如果没覆盖，则 \(s\to s+3^{dep_{x_i}}\)。

    • 如果被覆盖，则 \(s\to s+2\times 3^{dep}\)。

  最后让 \(dp_{i,s}\leftarrow dp_{i-1,j}\)。

• 如果 \(fa_{x_{i-1}}=x_i\)，也就是说这是一条向上的边，直接 \(dp_{i,j}=\min\{dp_{i-1,j},dp_{i-1,j+2\times 3^{dep_{x_{i-1}}}}\}\)。

最后一棵树的答案就是 \(\min\{dp_{2n-1,0},dp_{2n-1,2}\}\)，最终答案就是所有树的答案之和。

其实我们没有必要真正的把欧拉序列求出来，直接在 DFS 遍历的过程中求一下就行了，复杂度 \(\mathcal O(3^hm)\)，但是很多状态是不必要的，卡卡常就过了。