# 附录3 傅立叶分析应用

傅立叶分析不仅限于理论研究，它在金融、信号处理、环境科学、医疗、机械维护等众多领域具有广泛的实际应用。在Excel中，傅立叶分析工具为用户提供了简单而高效的频域分析手段，帮助发现数据中的周期性特征，识别异常频率，从而做出有针对性的决策。

1. 金融市场分析：周期性趋势发现

应用背景： 金融市场数据，如股票价格、指数、交易量等，往往包含周期性波动。投资者和分析师可以利用傅立叶分析来识别这些周期，帮助预测市场趋势。

应用场景： 某投资公司希望分析某一股票的历史价格数据，以识别其是否有长期或短期的周期性波动。他们使用傅立叶分析将股票价格数据转换为频域数据，以找出潜在的周期。

步骤：

1. 收集过去一年该股票的每日收盘价数据（时间序列数据）。
2. 将这些价格数据输入到Excel表格中。
3. 使用傅立叶分析工具分解价格数据。
4. 通过计算复数结果的模，确定主要的周期成分。
   • 如果发现某一频率成分的模较大，意味着股票价格在该频率下表现出显著的周期性波动（例如一个季度或每月的周期性波动）。

结果： 傅立叶分析的结果显示该股票价格存在每两个月的显著波动周期，这可能与公司的季度财报发布或行业内周期性事件相关。基于这一信息，投资公司可以调整其交易策略，在周期波动的低谷买入，高峰卖出。

2. 音频信号处理：音频频率分析

应用背景： 音频信号处理是傅立叶分析的经典应用领域之一。音乐、语音等音频信号可以分解为不同的频率成分，傅立叶分析可以用于识别这些频率，进而应用于音频压缩、噪声过滤、乐器音色分析等领域。

应用场景： 音频工程师需要对一段录音进行分析，以识别其中的噪音频率并进行噪声消除。他们可以利用傅立叶分析将音频信号分解为不同频率，定位噪音频率后进行滤波处理。

步骤：

1. 录制一段包含噪声的音频信号，并将其转换为数据（如振幅随时间的变化，采样间隔为固定的毫秒单位）。
2. 将音频数据输入Excel，并进行傅立叶分析，分解为不同的频率分量。
3. 通过频谱图识别出异常高的噪音频率（如60Hz电源噪声）。
4. 根据识别出的频率，使用滤波器消除该频率范围内的噪声。

结果： 傅立叶分析帮助音频工程师发现录音中的噪音源为50Hz电源频率干扰。通过设计一个针对该频率的滤波器，成功消除了录音中的电源噪声，提升了音频质量。

3. 环境科学：气象数据分析

应用背景： 在环境科学中，气象学家使用傅立叶分析来分析气温、潮汐、气压等数据的周期性。这可以帮助他们识别自然现象中的周期变化模式，从而改进气象预报。

应用场景： 气象学家需要分析过去几年的每日温度变化，找出季节性周期，并预测未来的温度变化。他们可以利用傅立叶分析来识别温度数据中的年周期和其他短期周期。

步骤：

1. 收集某城市过去5年的每日平均温度数据。
2. 将数据输入到Excel中，作为傅立叶分析的输入。
3. 通过傅立叶分析，发现一年中的不同周期（如一年的周期、半年周期、季度波动等）。
4. 根据结果，建立更加精确的气温预测模型，识别季节性和周期性波动。

结果： 傅立叶分析显示温度数据中存在明显的365天周期（年度周期），以及一个较小的180天周期（半年度波动），这帮助气象学家对未来的温度变化做出更准确的预测。

4. 医疗数据分析：脑电波分析

应用背景： 在医学领域，脑电图（EEG）数据分析中，傅立叶分析被用来分解脑电波，研究不同频率成分对大脑活动的影响，帮助诊断癫痫、失眠等神经系统疾病。

应用场景： 医生希望通过分析癫痫患者的EEG（脑电图）数据，发现患者脑电波中异常的频率成分，从而确定癫痫发作的触发因素。

步骤：

1. 获取患者的EEG数据，通常是脑电信号在数秒或数分钟内的记录。
2. 将数据导入到Excel中，并使用傅立叶分析工具分解为不同的频率成分。
3. 分析频率成分的功率谱，识别出异常强烈的高频或低频信号。
4. 医生根据结果判断，确定癫痫发作的具体脑电波特征频率，并制定治疗方案。

结果： 傅立叶分析揭示了患者脑电波中存在异常的高频成分，这与癫痫发作期间的大脑活动一致。医生根据这些信息调整了治疗方案，有效减少了患者的发作频率。

5. 机械振动分析：设备维护

应用背景： 在工业领域，傅立叶分析被广泛用于机械振动监测和故障诊断。通过分析机械设备的振动信号，工程师可以检测出异常的振动频率，预测设备的故障或损坏。

应用场景： 工厂维护团队使用傅立叶分析监测关键机械设备的振动，检测设备是否存在异常振动频率，预防可能的设备损坏。

步骤：

1. 安装振动传感器，定期收集设备运行时的振动数据（振动幅度随时间变化）。
2. 将振动数据输入Excel，通过傅立叶分析分解为不同的频率分量。
3. 分析频率分量，发现可能由设备磨损或不平衡引起的异常频率。
4. 根据异常频率成分，进行设备维护或更换部件，避免潜在的停机或故障。

结果： 通过傅立叶分析，维护团队识别出某设备中频繁出现的特定频率的异常振动，该频率与设备轴承的磨损有关。团队及时更换了轴承，避免了设备的重大故障和停产损失。

以下是一个利用Excel中的傅立叶分析工具进行操作的详细步骤示例，假设我们要分析一组时间序列数据，寻找其中的周期性模式。

用Excel进行傅立叶分析的操作步骤

应用背景

我们有一组采样间隔为1天的每日气温数据，记录了某城市连续100天的气温变化。我们希望利用傅立叶分析来找到这些气温数据中的周期性成分，比如每日温度的周期变化。

准备工作

1. 输入数据：
   • 在Excel的A列中输入从A2到A101的时间序列数据（气温数据）。
   • 确保数据有规律采样（比如每天记录一次）。

步骤 1：启用数据分析工具库

1. 打开Excel，点击“文件”菜单。
2. 选择“选项”，进入Excel选项设置界面。
3. 在左侧栏选择“加载项”，然后在窗口底部选择“Excel加载项”并点击“转到”。
4. 勾选“分析工具库”，点击“确定”。这时Excel的“数据”选项卡中会出现“数据分析”按钮。

步骤 2：准备傅立叶分析

1. 在Excel中，将气温数据输入A列。例如：
   • A1：输入“Temperature”作为标题。
   • A2：输入连续100天的气温数据。

步骤 3：执行傅立叶分析

1. 点击Excel菜单中的“数据”选项卡。

2. 在“数据分析”工具中点击“数据分析”按钮，弹出数据分析对话框。

3. 在列表中选择“傅立叶分析”，点击“确定”。

4. 输入范围：在“输入范围”框中选择数据的范围，比如

   A2:A101。
   

   • 勾选“列”表示数据以列的形式排列。
   • 不勾选“标签”框（除非你选择了标题行）。

5. 输出范围：选择输出傅立叶分析结果的位置。比如你可以将结果输出到B列，从B2开始，输入B2:B101。

6. 点击“确定”后，Excel将开始计算并输出傅立叶变换的结果。

步骤 4：查看傅立叶变换结果

傅立叶分析结果会以复数形式输出到指定的列。每个结果由实部和虚部组成，表示该频率下的正弦和余弦分量。

• 实部：表示该频率成分的正弦部分。
• 虚部：表示该频率成分的余弦部分。

可以通过计算复数的模来获取每个频率的振幅。

步骤 5：计算振幅和频率

为了直观理解傅立叶分析的结果，可以计算每个频率的振幅，公式如下：

振幅 = ( 实部 ) 2 + ( 虚部 ) 2 振幅= \sqrt{(\text{实部})^2 + (\text{虚部})^2} 振幅=(实部)2+(虚部)2 ​

• 在Excel中，可以用以下公式计算模：
  • 如果复数在B2和B3单元格中，分别表示实部和虚部，那么振幅可以用公式 =IMABS(B2) 计算。

步骤 6：绘制频谱图

1. 将振幅（频率成分的大小）计算出来后，将它们绘制成图表，以便更清晰地了解频率分布。
2. 选择振幅列，然后点击Excel顶部的“插入”选项卡。
3. 在图表选项中选择“折线图”，绘制出频谱图。
4. 通过分析频谱图的峰值，可以发现哪些频率成分在数据中占主导地位，揭示数据中的周期性模式。

步骤 7：解释结果

• 图表中的每个峰值代表一个频率分量的强度（振幅）。
• 峰值较高的频率表示该频率在数据中起到重要作用，可能代表一个周期性波动（如每日、每周的波动）。
• 通过查看频率的分布，用户可以找到数据中的主要周期成分，并判断这些周期在数据中的重要性。

示例总结

通过上述傅立叶分析，假设我们发现振幅图中的显著峰值对应的频率为1/30天，那么可以推断出数据中有大约每30天一个周期的温度波动。这样的周期性波动可以帮助气象学家更好地预测长期气候趋势。

备注：

• 数据量要求：傅立叶分析适用于较大数据量，通常至少有32或更多的数据点。
• 数据均匀性：傅立叶分析假设数据是等间隔采样的，如果采样间隔不均匀，结果可能不准确。
• FFT（快速傅立叶变换）：Excel中使用的是快速傅立叶变换（FFT）算法，该算法在处理周期性数据时非常高效。

通过这个实际用例，你可以直观地了解如何在Excel中使用傅立叶分析来处理和分析时间序列数据，发现其中的周期性特征。