T5 [ABC134F] Permutation Oddness
很无敌的一道题。(好像是我第一次用无敌这个词
把 \(p_i\) 和 \(i\) 的对应关系转化为球和盒子的配对问题,则原式中的绝对值顺利成章地就变成类似距离的一个东西。
那么设 \(f_{i,j,k}\) 表示前 \(i\) 个球和盒子(注意球和盒子是一起考虑的,所以 \(i\) 只会遍历到 \(n\))、其中有 \(j\) 组球和盒子暂未配对、当前怪异度为 \(k\) 的答案。则答案为:\(f_{n,0,K}\)。到这里应该是不难理解的。
考虑新遍历到一组球和盒子,会有三种情况出现:不给它们配对、给其中一个配对、给俩都配对。
情况一:不给它们配对。
则易得转移方程:
\[f_{i+1,j+1,k+2j}\gets f_{i,j,k} \]\(k+2j\) 是什么?以后再解释。
情况二:给其中一个配对。
- 如果给球配对,相当于用了之前的一个没有配对的盒子,有 \(j\) 种情况;
- 如果给盒子配对,相当于用了之前的一个没有配对的球,有 \(j\) 种情况;
- 还有一种特殊情况:直接将当前球和当前盒子配成一对,有 \(1\) 种情况。
综上,有 \(2j+1\) 种情况。易得任意一种都是用了一个没有配对的又多了一个当前的,或者是直接解决当前的且不管前面的,所以 \(j\) 不变,有转移方程:
\[f_{i+1,j,k+2j}\gets f_{i,j,k}\times(2j+1) \]情况三:给俩都配对。
当前的球有 \(j\) 个盒子给它配对,当前的盒子也有 \(j\) 个球给它配对,共 \(j^2\) 种方案。由于这种情况直接消耗了两个(也就是一组)没有配对的球和盒子,所以转移方程长这样:
\[f_{i+1,j-1,k+2j}\gets f_{i,j,k}\times j^2 \]那么问题来了,为什么是 \(k+2j\) 呢?
我们可以理解为:状态中的 \(j\) 有另一种解释,\(1\sim i\) 的这些球有 \(j\) 个要放到编号大于 \(i\) 的盒子里。那么如果把第 \(i\) 组球和盒子处理完了,也就是将前 \(j\) 个球和盒子中的一个配上对了,那么剩下的就要都再往下配对一行,导致总共多出了 \(2j\) 的贡献。
这篇题解对 \(k+2j\) 的解释更加详细。
#include<bits/stdc++.h>
#define fw fwrite(obuf,p3-obuf,1,stdout)
#define getchar() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<20,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)
#define putchar(x) (p3-obuf<1<<20?(*p3++=(x)):(fw,p3=obuf,*p3++=(x)))
using namespace std;
char buf[1<<20],obuf[1<<20],*p1=buf,*p2=buf,*p3=obuf,str[20<<2];
int read(){
int x=0;
char ch=getchar();
while(!isdigit(ch))ch=getchar();
while(isdigit(ch))x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48),ch=getchar();
return x;
}
template<typename T>
void write(T x,char sf='\n'){
if(x<0)putchar('-'),x=~x+1;
int top=0;
do str[top++]=x%10,x/=10;while(x);
while(top)putchar(str[--top]+48);
if(sf^'#')putchar(sf);
}
using ll=long long;
constexpr int MAXN=55,MOD=1e9+7;
int n,K;
int dp[MAXN][MAXN][MAXN*MAXN];
void add(int&x,int y){
x=x+y>=MOD?x+y-MOD:x+y;
}
int main(){
n=read(),K=read();
if(K&1)return write(0),fw,0;
dp[0][0][0]=1;
for(int i=0;i<n;++i)
for(int j=0;j<=i;++j)
for(int k=0;k<=K;++k){
add(dp[i+1][j][k+2*j],(ll)dp[i][j][k]*(j<<1|1)%MOD);
if(j)add(dp[i+1][j-1][k+2*j],(ll)dp[i][j][k]*j%MOD*j%MOD);
add(dp[i+1][j+1][k+2*j],dp[i][j][k]);
}
write(dp[n][0][K]);
return fw,0;
}
标签:Oddness,盒子,题解,当前,情况,配对,ABC134F,2j
From: https://www.cnblogs.com/laoshan-plus/p/18475122