Sparse Table

Sparse Table 可用于解决这样的问题：给出一个 \(n\) 个元素的数组 \(a_1, a_2, \cdots, a_n\)，支持查询操作计算区间 \([l,r]\) 的最小值（或最大值）。这种问题被称为区间最值查询问题（Range Minimum/Maximum Query，简称 RMQ 问题）。预处理的时间复杂度为 \(O(n \log n)\)，预处理后数组 \(a\) 的值不可以修改，一次查询操作的时间复杂度为 \(O(1)\)。

例题：P2880 [USACO07JAN] Balanced Lineup G

有一个包含 \(n\) 个数的序列 \(h_i\)，有 \(q\) 次询问，每次询问 \(h_{a_i}, h_{a_i + 1}, \cdots, h_{b_i - 1}, h_{b_i}\) 中最大值与最小值的差。
数据范围：\(1 \le n \le 5 \times 10^4, \ 1 \le q \le 1.8 \times 10^5, \ 1 \le h_i \le 10^6, \ a_i \le b_i\)。

分析：题目要求最大值和最小值的差难以直接求出，通常需要分别求解最大值和最小值。最直接的做法是每次遍历区间中的每一个数，记录最大值和最小值。这样可以正确求出正确答案，但是效率低下，时间复杂度高达 \(O(nq)\)，无法通过本题。

之所以这样做效率低下，是因为所有询问区间可能有着大量的重叠，这些重叠部分被多次遍历到，因此产生了大量的重复。如果可以通过预处理得到一些区间的最小值，再通过这些区间拼凑每一个询问区间，就可以提高效率。

预处理前缀和可以拼凑出任意区间的和，但是这个思路不能直接搬到最值查询问题中。原因在于区间和可以从一个大区间中减去一部分小区间得到，而区间最值不行，所以只能用小区间去拼出大区间。如何选择预处理的区间就成为关键，选择的区间既要能够拼出任意区间，数量少又不能太多，并且预处理和查询都要高效。

可以预处理以每一个位置为开头，长度为 \(2^0, 2^1, \cdots, 2^{\lfloor \log_2 n \rfloor}\) 的所有区间最值。下面以最大值为例，用 \(f_{i,j}\) 表示 \(h_i, h_{i+1}, \cdots, h_{i+2^j-2}, h_{i+2^j-1}\) 中的最大值，用递推的方式计算所有的 \(f\)，转移为 \(f_{i,j} = \max (f_{i,j-1}, f_{i+2^{j-1}, j-1})\)。计算所有的 \(f\) 的过程为预处理，预处理的时间复杂度为 \(O(n \log n)\)。

void init() {
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		f[i][0] = h[i];
	}
	for (int j = 1; (1 << j) <= n; j++) {
		for (int i = 1; i <= n - (1 << j) + 1; i++) {
			f[i][j] = max(f[i][j - 1], f[i + (1 << (j - 1))][j - 1]);
		} 
	}
}

接下来解决查询的问题，设需要查询最大值的区间是 \([l,r]\)。记区间长度为 \(L\)，则该区间可以拆分为 \(O(\log L)\) 个小区间。对 \(L\) 做二进制拆分，从 \(l\) 开始向后跳，每次跳跃的量是一个 \(2\) 的幂，从而拼出整个区间。单词查询时间复杂度为 \(O(\log n)\)。

int query(int l, int r) {
	int len = r - l + 1, ans = -INF, cur = l;
	for (int i = 0; (1 << i) <= len; i++) {
		if ((len >> i) & 1) {
			ans = max(ans, f[cur][i]);
			cur += (1 << i);
		} 
	}
	return ans;
}

更进一步，查询区间最值时，区间合并的过程允许重叠，因此只需要找到两个长度为 \(2^k\) 的区间合并得到 \([l,r]\)。令 \(k\) 为满足 \(2^k \le r-l+1\) 的最大整数，区间 \([l, l+2^k-1]\) 和区间 \([r-2^k+1,r]\) 合并起来覆盖了需要查询的区间 \([l,r]\)。

int query(int l, int r) {
	int k = log_2[r - l + 1]; // 可以预处理log_2的表
	return max(f[l][k], f[r - (1 << k) + 1][k]);
}

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using std::min;
using std::max;
const int N = 50005;
const int LOG = 16;
int h[N], f_min[N][LOG], f_max[N][LOG], log_2[N];
void init(int n) {
    log_2[1] = 0;
    for (int i = 2; i <= n; i++) log_2[i] = log_2[i >> 1] + 1; // 预处理对数表
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        f_min[i][0] = f_max[i][0] = h[i];
    }
    for (int j = 1; (1 << j) <= n; j++) {
        for (int i = 1; i <= n - (1 << j) + 1; i++) {
            f_min[i][j] = min(f_min[i][j - 1], f_min[i + (1 << (j - 1))][j - 1]);
            f_max[i][j] = max(f_max[i][j - 1], f_max[i + (1 << (j - 1))][j - 1]);
        }
    }
}
int query(int l, int r, int flag) { // flag为1时查询最大值，为0时查询最小值
    int k = log_2[r - l + 1];
    if (flag) return max(f_max[l][k], f_max[r - (1 << k) + 1][k]);
    else return min(f_min[l][k], f_min[r - (1 << k) + 1][k]);
}
int main()
{
    int n, q; scanf("%d%d", &n, &q);
    for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &h[i]);
    init(n);
    for (int i = 1; i <= q; i++) {
        int a, b; scanf("%d%d", &a, &b);
        printf("%d\n", query(a, b, 1) - query(a, b, 0));
    }
    return 0;
}

Sparse Table 预处理部分的时间复杂度为 \(O(n \log n)\)，查询一次的时间复杂度为 \(O(1)\)，总的时间复杂度为 \(O(n \log n)\)。

Sparse Table 不仅可以求区间最大值和最小值，还可以处理符合结合律和幂等律（与自身做运算，结果仍是自身）的信息查询，如区间最大公约数、区间最小公倍数、区间按位或、区间按位与等。