[PTA]7-8 汉诺塔问题(Hanoi) 7-9 建国的数学难题 7-10 用递归法求解Fibonacci数列
描述：
一、汉诺塔问题
有三根杆子A，B，C。A杆上有N个(N>1)穿孔圆盘，盘的尺寸由下到上依次变小。要求按下列规则将所有圆盘移至C杆： 每次只能移动一个圆盘； 大盘不能叠在小盘上面。 提示：可将圆盘临时置于B杆，也可将从A杆移出的圆盘重新移回A杆，但都必须遵循上述两条规则。
问：如何移？最少要移动多少次？
汉诺塔示意图如下：
二、故事由来
法国数学家爱德华·卢卡斯曾编写过一个印度的古老传说：在世界中心贝拿勒斯（在印度北部）的圣庙里，一块黄铜板上插着三根宝石针。印度教的主神梵天在创造世界的时候，在其中一根针上从下到上地穿好了由大到小的64片金片，这就是所谓的汉诺塔。不论白天黑夜，总有一个僧侣在按照下面的法则移动这些金片：一次只移动一片，不管在哪根针上，小片必须在大片上面。僧侣们预言，当所有的金片都从梵天穿好的那根针上移到另外一根针上时，世界就将在一声霹雳中消灭，而梵塔、庙宇和众生也都将同归于尽。
不管这个传说的可信度有多大，如果考虑一下把64片金片，由一根针上移到另一根针上，并且始终保持上小下大的顺序。这需要多少次移动呢?这里需要递归的方法。假设有n片，移动次数是f(n).显然f(1)=1,f(2)=3,f(3)=7，且f(k+1)=2f(k)+1。此后不难证明f(n)=2n-1。n=64时， 假如每秒钟一次，共需多长时间呢？一个平年365天有31536000 秒，闰年366天有31622400秒，平均每年31556952秒，计算一下： 18446744073709551615秒 这表明移完这些金片需要5845.54亿年以上，而地球存在至今不过45亿年，太阳系的预期寿命据说也就是数百亿年。真的过了5845.54亿年，不说太阳系和银河系，至少地球上的一切生命，连同梵塔、庙宇等，都早已经灰飞烟灭。
三、解法
解法的基本思想是递归。假设有A、B、C三个塔，A塔有N块盘，目标是把这些盘全部移到C塔。那么先把A塔顶部的N-1块盘移动到B塔，再把A塔剩下的大盘移到C，最后把B塔的N-1块盘移到C。 每次移动多于一块盘时，则再次使用上述算法来移动。
输入格式:
输入为一个整数后面跟三个单字符字符串。
整数为盘子的数目，后三个字符表示三个杆子的编号。
输出格式:
输出每一步移动盘子的记录。一次移动一行。
每次移动的记录为例如3:a->b 的形式，即把编号为3的盘子从a杆移至b杆。
我们约定圆盘从小到大编号为1, 2, …n。即最上面那个最小的圆盘编号为1，最下面最大的圆盘编号为n。
输入样例:
3 a b c
输出样例:
1:a->c
2:a->b
1:c->b
3:a->c
1:b->a
2:b->c
1:a->c
代码
#include <stdio.h>
void move(int n,char a,char c){
printf("%d:%c->%c\n",n,a,c);
}
void hnt(int n,char a,char b,char c){
if(n==1)move(n,a,c);
else{
hnt(n-1,a,c,b);
move(n,a,c);
hnt(n-1,b,a,c);
}
}
int main(){
int n;
scanf("%d",&n);
hnt(n,'a','b','c');
return 0;
}
7-9 建国的数学难题
众所周知，建国是一个数学天才，但是今天他被下面这道题考到了，你能帮建国解决这个难题吗？
f(1) = k
f(2) = f(1) + 1
f(3) = f(2) + 1 + 2
…
f(n) = f(n-1) + (1 + 2 + … + n-1)
输入格式:
第一行输出一个整数T，表示样例数。(1 <= T <= 100)
每个样例占一行，输入两个整数n，k。（0 < n, k <= 1000) 。
输出格式:
每个样例输出一个整数表示f(n)。
输入样例:
2
1 1
2 3
输出样例:
1
4
代码
#include <stdio.h>
int T, n, k;
int f2(int n){
if(n==1)
return 0;
return f2(n-1)+n-1;
}
int f1(int n){
if(n==1)
return k;
return f1(n-1)+f2(n-1)+n-1;//或者写成f1(n-1)+f2(n)
}
int main(){
scanf("%d", &T);
while(T--){
scanf("%d%d", &n, &k);
printf("%d\n", f1(n));
}
return 0;
}
7-10 用递归法求解Fibonacci数列
这是一个编程题模板。
已知斐波那契数列公式如下：
F(n)=F(n−1)+F(n−2),(n>2);
F(1)=1;F(2)=1。
输入格式:
输入一个正整数n(1<=n<=50)。
输出格式:
输出该正整数n对应的斐波那契数列的F(n)。
如果输入的n<1或者n>50，输出"Wrong Input!"
输入样例:
在这里给出一组输入。例如：
2
输出样例:
在这里给出相应的输出。例如：
F(2)=1
输入样例:
在这里给出一组输入。例如：
3
输出样例:
在这里给出相应的输出。例如：
F(3)=2
输入样例:
在这里给出一组输入。例如：
-7
输出样例:
在这里给出相应的输出。例如：
Wrong Input!
代码
#include <stdio.h>
int Fibonacci(int n){ //递归求第n项的值
if(n == 0 || n == 1)
return n;
else
return Fibonacci(n-1) + Fibonacci(n-2);
}
int main(){
int n;
scanf("%d", &n);
if(n < 1 || n > 50){ //输入错误
printf("Wrong Input!");
}else{
printf("F(%d)=%d\n", n, Fibonacci(n));
}
return 0;
}