• 1、背景介绍
• 2、无符号数与有符号数的转化过程分析
• 3、原码、反码、补码
  • 机器数与真值
  • 原码、反码、补码
  • 补码的理解与应用

1、背景介绍

（1）表达式中符号选取，具有贪心特性，即从左到右，尽量多的匹配符号；

（2）C语言的表达式中，存在隐式类型转换，基本原则为向大数转换，具体说明如下：

• 占用字节数少的类型，向占用字节数多的类型转换；
• 占用字节数相同情况下，有符号向无符号转换；
• 整数类型向浮点类型转换；
• 单精度向双精度转换；
• Char型是否有符号取决于编译器，在运算时会提升为int；

2、无符号数与有符号数的转化过程分析

原理：计算机中的数据，均以二进制方式存储，并且以二进制补码形式存储。；类型转换时，内存中存储的数据位值不变，编译器根据类型改变解释方式。

最高位为符号位，符号位为0时表示正数，符号位为1时表示负数；

存储数值解释为补码，根据符号位决定补码的转换规则，正数的原码、反码、补码相同，负数需要将补码转换成原码（减一取反），获得真值。

示例（4位字长）：内部存储为1010
无符号数： 表示数值10。
有符号数：符号位为1，表示负数；存储值为补码，将其转化原码1110，表示数值-6。

3、原码、反码、补码

机器数与真值

（1）机器数
将符号数字化的数，即数字在计算机中的二进制表示形式（仅为表示形式，不是数值在内存中真实二进制存储内容，后文将说明，数据以补码形式实际存储）。

• 特点1：符号数字化。
  二进制数的最高位，称符号位，0表示正号，1表示负号。
• 特点2：位数受物理设备的限制。
  机器内部运算单元一次能表示的二进制位数叫做机器的字长，一台机器的字长是固定的，由运算器（冯诺依曼结构）的寄存器长度决定。通常说的，32位系统或者64位系统，即表明该系统的字长为32位或64位。8位（bit）字长又叫做一个字节（Byte）。

（2）真值
用“+”和“-”来表示正负号的二进制数叫做符号数的真值。
机器数是数字在机器内部的表示形式，真值是利用数学符号表达的二进制数值。
如：“00001101”和“10001101”是两个机器数（字长八位），其真值分别为+0001101和-0001101。

原码、反码、补码

（1）原码
机器数表示法，最高位表示符号位，其他位存放数值（真值）的绝对值。

原码可以直观地表示数字的数值大小，但是使用原码进行加减法时需要对符号位进行判断，电路设计复杂。为了简化电路设计和运算逻辑，通过引入反码和补码，将减法转换成负数的加法。正数的原码、反码、补码均相同。
如，机器数“00001 101”和“1000 1101”的原码为0000 1101和1000 1101。

（2）反码
正数的反码与原码形式相同；负数的反码，最高位表示符号位，其他位为真值的绝对值取反，即对原码的数值为按位取反。

如，机器数“00001101”和“10001101”的原码为0000 1101和1000 1101，反码为00001101和1111 0010。

（3）补码

正数的补码与原码形式相同；负数的补码，表现为反码加一。

负数补码的快速计算方法：符号位不变，用模值减去补码二进制的数值位，即可得到负数的补码。“补齐”的是该负数的绝对值与模值之间的距离。
如，计算4字长场景下，原码1011的补码：
通常方法（对原码取反加一）：[1011]原 = [1100]反 = [1101]补码
快速方法（有效模值 - 原码的数值绝对值）:4字长机器，最高位表示符号位，实际有效模值为为2^3，即1000；原码数值部分绝对值011；
有效模值-原码的数值部分绝对值 = 1000 - 011 = 101，加上符号位，则其补码为1101。

补码的理解与应用

（1）理解分析
补码的引入来源于“同余定理”。数学上，两个整数除以同一个整数，若得相同余数，则说两个整数同余。
数学定义如下：两个整数a、b，若它们除以整数m所得的余数相等，则称a与b对于模m同余，记作：a≡b (mod m)。
显然，若a与b对于模M同余，（a+M）与b对模M也同余。

在运算器进行加减法时，寄存器的溢出特性类似于取余操作，寄存器表达的最大数字即为 模 - 1。

假设寄存器位数为n，则模为2^n，记为M，且有正值A和负值-B（B为其绝对值），
(A – B) (mod M)= (A + (-B) + M)(mod M) = (A + (M - B))(mod M) = (A + (-B)补)(mod M)
显然，(-B)补=M-B，即(-B)的补码为模值M减去(-B)真值的绝对值。
可见，在模为M的条件下，A减去B，可以用A加上-B的补码来实现。

（2）反码与补码的关系推导
假设机器字长为n，负数K, 模2^(n-1)，
将符号位参与运算，原码与反码的最高位相同，进位后溢出丢弃，有
[K]原 + [K]反 = 2^(n - 1) - 1 （1）

由补码定义，可知
[K]补 = 2^(n) - [K]真值绝对值 （2）

结合（1）、（2）有，
[K]补 - [K]反 = 1 + 2^(n-1) + [K]原 - [K]真值绝对值 （3）

上式的后三项结合后，产生进位，溢出后丢弃，移项可得
[K]补 = [K]反 + 1 （4）

结论：负数补码的计算口诀“取反加一”，仅是有与补码性质与反码性质的“巧合”，通过寄存器的溢出特性更容器理解补码的构造思路。

（3）应用分析
补码引入，可以将加减法统一成加法，并将符号位同时参与运算，不需要要进行判断，极大地简化了电路。以4位字长运算，举例如下：
例1：7 - 5
7的原码、反码、补码相同，为0111。
-5的原码为1101，反码为1010，补码为1011。
在内存中，数据的存储是以补码的形式进行真实存放的，则在加法运算器中，最高位进位后丢弃
7 – 5 = [7]补码 + [-5]补码 = 0111 + 1011 = 1(进位丢弃) 0010 = 2

例2：-2 – 4
-2的原码为1010，反码为1101，补码为1110；
-4的原码为1100，反码为1011，补码为1100；

-2-4 = [-2]补码 + [-4]补码 = 1110 + 1100 = 1(进位丢弃) 1010

运算后的存储结果为1010，此时数据仍是补码形式，求其真值需要先转化成原码，利用“减一取反”的逆向过程求补码的原码，可得[1010]补 = [1100]原 = -6。