【数据结构】二叉树的遍历

堆的应用

堆排列

堆排序即利用堆的思想来进行排序，总共分为两个步骤：

1. 建堆
   升序：建大堆
   降序：建小堆

2. 利用堆删除思想来进行排序
   建堆和堆删除中都用到了向下调整，因此掌握了向下调整，就可以完成堆排序。
   

void HeapSort(int* a, int n)
{
	// a数组直接建堆 O(N)
	for (int i = (n-1-1)/2; i >= 0; --i)
	{
		AdjustDown(a, n, i);
	}

	// O(N*logN)
	int end = n - 1;
	while (end > 0)
	{
		Swap(&a[0], &a[end]);
		AdjustDown(a, end, 0);
		--end;
	}
}

TOP-K问题

TOP-K问题：即求数据结合中前K个最大的元素或者最小的元素，一般情况下数据量都比较大。

比如：专业前10名、世界500强、富豪榜、游戏中前100的活跃玩家等。

对于Top-K问题，能想到的最简单直接的方式就是排序，但是：如果数据量非常大，排序就不太可取了(可能数据都不能一下子全部加载到内存中)。
最佳的方式就是用堆来解决，基本思路如下：

1. 用数据集合中前K个元素来建堆
   前k个最大的元素，则建小堆
   前k个最小的元素，则建大堆

2. 用剩余的N-K个元素依次与堆顶元素来比较，不满足则替换堆顶元素

3. 将剩余N-K个元素依次与堆顶元素比完之后，堆中剩余的K个元素就是所求的前K个最小或者最大的元素。

二叉树链式结构的实现

二叉树的遍历

前序、中序以及后序遍历

学习二叉树结构，最简单的方式就是遍历。所谓二叉树遍历(Traversal)是按照某种特定的规则，依次对二叉树中的节点进行相应的操作，并且每个节点只操作一次。

访问节点所做的操作依赖于具体的应用问题。 遍历是二叉树上最重要的运算之一，也是二叉树上进行其它运算的基础。

按照规则，二叉树的遍历有：前序/中序/后序的递归结构遍历：

1. 前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之前。
2. 中序遍历(Inorder Traversal)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之中（间）。
3. 后序遍历(Postorder Traversal)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之后。

由于被访问的结点必是某子树的根，所以N(Node）、L(Left subtree）和R(Right subtree）又可解释为根、根的左子树和根的右子树。

NLR、LNR和LRN分别又称为先根遍历、中根遍历和后根遍历。

//前序遍历
void PreOrder(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		printf("N ");
		return;
	}

	printf("%d ", root->val);
	PreOrder(root->left);
	PreOrder(root->right);
}
//中序遍历
void InOrder(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		printf("N ");
		return;
	}

	InOrder(root->left);
	printf("%d ", root->val);
	InOrder(root->right);
}
//后序遍历
void  PostOrder(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		printf("N ");
		return;
	}

	 PostOrder(root->left);
	 PostOrder(root->right);
	 printf("%d ", root->val);
}

前序遍历结果：1 2 3 4 5 6
中序遍历结果：3 2 1 5 4 6
后序遍历结果：3 2 5 6 4 1

层序遍历

层序遍历：除了先序遍历、中序遍历、后序遍历外，还可以对二叉树进行层序遍历。

设二叉树的根节点所在层数为1，层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发，首先访问第一层的树根节点，然后从左到右访问第2层上的节点，接着是第三层的节点，以此类推，自上而下，自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历。

// 层序遍历（需要用到队列）
void BinaryTreeLevelOrder(BTNode* root) {
	Que q;//定义一个队列
	QueueInit(&q);//初始化队列
	
	if (root)
		QueuePush(&q, root);//如果根节点不为空则入队列
		
	while (!QueueEmpty(&q)) 
	{
		BTNode* front = QueueFront(&q);//指针指向队头
		printf("%c ", front->data);//输出队头字符
		
		if(front->left!=NULL)//如果左子树存在则将其入队列
			QueuePush(&q, front->left);
			
		if(front->right!=NULL)//如果右子树存在则将其入队列
			QueuePush(&q, front->right);
		QueuePop(&q);//将头结点删除，并将下一个结点变为队头
	}
	
	printf("\n");
	QueueDestroy(&q);//销毁队列
}

节点个数以及高度等其他接口函数

//求二叉树总节点个数
int TreeSize(BTNode* root)
{
	return root == NULL ? 0 : 
		TreeSize(root->left) + TreeSize(root->right) + 1;
}

// 求二叉树第k层的节点个数
int TreeKLevel(BTNode* root, int k)
{
	assert(k > 0);

	if (NULL == root)
		return 0;

	if (k == 1)
		return 1;

	// 不等于空，且k > 1说明第k层的节点在子树里面，转换成子问题求解
	return TreeKLevel(root->left, k - 1)
		+ TreeKLevel(root->right, k - 1);
}

// 查找x所在的节点
BTNode* TreeFind(BTNode* root, int x)
{
	if (root == NULL)
		return NULL;

	if (root->val == x)
		return root;

	BTNode* ret1 = TreeFind(root->left, x);
	if (ret1)
		return ret1;

	BTNode* ret2 = TreeFind(root->right, x);
	if (ret2)
		return ret2;

	return NULL;
}