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无线通信基础第五章信道容量

时间：2024-09-11 22:52:46浏览次数：3

标签：无线通信信噪比信道容量信道第五章出错功率 AWGN

AWGN信道容量

定义：存在一个最大的速率，称为信道的容量。如果一个信道尝试用超过信道容量的信息传输速率，那么出错概率就一定大于零。

AWGN信道：

$y[m] = x[m] + w[m], w[m]\sim \mathcal{N}(0, \sigma^2) .$

重复编码（Repetition Coding）

对于一个BPSK符号 $x[m] = \pm {\sqrt{P}}$ ,出错概率为 $Q({\sqrt{P/\sigma^2}} )$ .

将BPSK符号重复编码N次，对应的两个码字分别为 $\mathbf{x_A} = {\sqrt{P}} [1, \ldots, 1]^T,$ 和 $\mathbf{x_B} = {\sqrt{P}} [-1, \ldots, -1]^T,$ 如果发送的的是符号 $\mathbf{x_A}$ ，则接受端的信号为：

${\mathbf{y} = \mathbf{x_A} + \mathbf{w}}$

对应的出错概率为

$Q( \frac{||\mathbf{x_A} - \mathbf{x_B}||}{2\sigma}) = Q({\sqrt{\frac{NP}{\sigma^2}}})$

虽然信息随着N的增大变得越来越可靠，但是信息传输速率是1/N, 随着N的增大趋于零。

采用MPAM可以增大信息传输速率，此时的出错概率为

信息的传输速率为log(M/N)。随着N的增大，M不能大于 ${\sqrt{N}}$ , 所以信息的传输速率不会大于 $(\log {\sqrt{N}} )/N$ , 当N趋于无穷时，信息的传输速率依旧趋于零。

包络球

N维空间的总的大球（接受信号空间）的体积比上每一个小球（发送符号）的体积

由此可以得到信号的理论醉倒传输速率：

AWGN信道解码

采用ML解码AWGN信道，当N很大时，复杂度非常大。Turbo 和Low Density Parity Check 码作为一种迭代译码，性能和ML接近。

AWGN信道资源分配

连续时间AWGN信道

AWGN信道带宽为W, 功率限制为，噪声谱密度为，采样率为1/W, 对于复高斯信道

噪声功率和每一个实信号的功率分别是 $N_0/2, \overline{P}/(2W)$ ,则信道容量为：

对于连续系统每一秒有W个符号，则信道容量为

定义为信噪比自由度,则AWGN信道容量表示为：

也表示为最大可达频谱效率（spectal efficiency）。

功率和带宽的影响

带宽一定时，考虑功率的影响。将频谱效率看成关于SNR的函数

在低信噪比和高信噪比区域

当信噪比比较低的时候，功率每增加3dB(翻倍)时，信道容量翻倍。当信噪比比较高的时候，功率每增加3db（翻倍），每一个维度只能增加一个bit。

功率一定时，考虑带宽的影响。当带宽趋于无穷时

当功率一定时，信道容量随着带宽递增有上界

定义每个比特的功率，则有最小的每个比特的信噪比为

这个最小信噪比与总功率无关。

线性时不变高斯信道

单输入多输出信道（SIMO）

考虑有L根接收天线的SIMO信道

采用MRC检测

接受的信噪比，P是每一个符号的平均功率，则信道容量（最大可达频谱效率）表示为

多输入单输出信道（MISO）

考虑有L根发射天线的MISO信道（每根天线发送相同的符号）

通过预编码设置使得每一个发送符号在接收端正交（波束成型 transmit beamforming）

由此得到

由此得到信道容量

频率选择性信道（时延多径信道）

考虑一个时不变的最大时延为L个采样时间的频率选择性信道

每个符号的平均功率限制是P。通过OFDM，频率选择性信道可以视为 $N_c$ 个独立的子信道，其中 $N_c$ 为子载波的个数，于是有

和发送信号矢量和噪声适量

接受信号矢量

频率选择性信道的信道容量可以视为多个子信道的信道容量的和。发射信号的总功率限制为

假设在第n个子载波上的功率分配是 $P_n$ ，则总的信道容量为

其中满足功率限制

注水法（Waterfilling）

为了得到频率选择性信道的信道容量的最大值，我们采用拉格朗日乘子法如下

第一步，定义 $x^+=\max (x,0)$ , 则有功率分配为

第二步，由于总功率限制

由于在第一步中不知道 $\lambda$ 的值，于是我们要通过迭代的方式，先假设所有信道可以使用，进行第二步得到 $\lambda$ 的值，再进行第一步，将 $P_n$ 为负的信道设置为0后，重新进行第二步，计算出新的 $\lambda$ 和功率分配 $P_n$ ，在进行第一步直到所有的子信道功率分配不存在负值，迭代结束。

因为 $\tilde{h}_n$ 是由 $h_n$ 通过补零后进行傅里叶变换得到的，于是有

若实际的频谱宽度为W，则第n个频点对应的实际的频率为，于是有频谱响应

则在第n个子载波的功率分配也可以表示为

将每个子载波的作为纵坐标，则有如下所示，蓝色部分的总和代表总的功率，每一个索引n上的蓝色部分代表对应子载波的功率分配。

运用N维空间包络球的概念，所有子信道的球的体积为（两个独立子信道的体积是两个体积相乘，因为不在相同的维度）

噪声的体积为，于是能放下的所有的球的个数最大为

最大可以达到的通信速率为

衰落信道（Fading Channel）的信道容量

考虑一个平坦衰弱信道（flat fading channel）

其中 ${h[m]}$ 是一个衰弱过程， $w[m] \sim \mathcal{CN} (0, N_0)$ . 信号带宽为W, 每个符号的功率限制为P。

假设信道响应归一化 $\mathbb{E}[|h[m]|^2] = 1.$ 平均的接受信噪比为SNR = $P/N_0$ .

慢变衰弱信道（slow fading channel）

对于所有的m有，这也称为准静态信道。在信道响应为h下有最大的可靠通信速率为。若以R来作为信息的传输速率，则一定有可能出错，则此时的出错概率为

对于瑞利衰落信道（ $h \sim \mathcal{CN}(0,1)$ ），上述的出错概率为

在高信噪比下有

在无编码系统下，瑞利信道出错概率以1/SNR衰减。由此可见，编码不能显著提高出错概率。这是因为编码可以有效对抗高斯白噪声，但是信道衰落对于编码符号的影响无法被解决。

接受分集

如果假设有L根接受天线，由前面SIMO信道有出错概率为

可以变形为

在独立瑞利衰落的情况下， $||\mathbf{h}||^2$ 是2L 个独立的高斯变量的和，服从自由度为2L的 $\chi ^2$ 分布，其概率密度分布函数为

当 $\delta$ 很小时有

于是对于高信噪比下有

其中出错概率以L的负指数衰减，分集度为L。

发送分集

发送端具有信道信息

考虑有L根发射天线的MISO系统，信道矢量为，假设发送端具有信道信息，可以对信号进行预编码（beamforming）,则对应前面的MISO信道容量

若以R的速率进行传输，则出错概率为

这与SIMO性能相同

发送端不具有信道信息

Alamouti Scheme

对于2发1收的的信道

在第一个时间段 $x_1[1] = u_1, x_2 [2] = u_2$ ,在第二个时间段 $x_1[2] = -u_2*, x_2 [2] = u_1*$ 。

写成矩阵形式有

或

（接收端具有信道信息则可以进行解码）两个时间段的符号分配一样的功率则有

同上有出错概率为

由此可见对于发射端具有信道信息的情况下具有3db的功率增益。

在接收端不具备信道信息的情况下，所有天线均匀分配功率是最优的。（可证明）

重复编码

L根天线，L个时间段发送相同的符号，此时的出错概率为

（L个独立子信道并联）/（L个时间段）可以得到信道容量。如果要和Alamouti具有一样的性能，需要Alamouti所需的信噪比比上重复编码所需的信噪比为

类比接受分集里面的结果可以得到上面的结果。但R很小时有

此时没有SNR的损失。因此在高SNR的情况下，重复编码是次优的。

快变衰落信道（fast fading channel）

假设在L个码长时间内信道是不变的，这此时的出错概率为

当L趋于无穷大有(大数定理)

由此可以得到对于快变衰落信道的一个有意义的信道容量

性能对比

通过Jensen不等式有，对于一个严格凹函数有。

在低信噪比区域

在高信噪比区域

存在瑞利信道导致的信道容量衰减。

发射端具有信道信息

慢变已讨论

对于快变信道采用注水法

假设有L个时刻，每个时刻信道响应为 $h_1,\ldots, h_L$ （每个时刻不同），视为L个子信道并联有信道容量为

满足功率限制

和注水法类似，可以视为总功率为LP的L个并联子信道功率分配。

在低信噪比下注水法比AWGN信道好，但是到了高信噪比的情况下，注水法和CSIR的性能是一致的。

注水法和重复编码的功率分配如下所示

标签：无线通信,信噪比,信道容量,信道,第五章,出错,功率,AWGN
From： https://blog.csdn.net/weixin_48442204/article/details/141932599

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