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【模板】最长公共子序列

题目描述

给出 $1,2,\ldots,n$ 的两个排列 $P_1$ 和 $P_2$ ，求它们的最长公共子序列。

输入格式

第一行是一个数 $n$。

接下来两行，每行为 $n$ 个数，为自然数 $1,2,\ldots,n$ 的一个排列。

输出格式

一个数，即最长公共子序列的长度。

样例 #1

样例输入 #1

5 
3 2 1 4 5
1 2 3 4 5

样例输出 #1

3

提示

• 对于 $50%$ 的数据， $n \le 10^3$；
• 对于 $100%$ 的数据， $n \le 10^5$。

算法1

(LCS -> LIS) $O(n*logn)$

注意点：

看数据范围 $n \le 10^5$ 用朴素的LCS** $O(n^2)$**,肯定会超时；

想办法优化一下,我们直到最长上升子序列有一个二分优化版本： $O(nlogn)$

那么如何把最长公共子序列问题转化为最长上升子序列问题呢？

1.首先由题意可知，每行是已$1- n$组成的排列，说明两个数组中出现的元素是相同的，只是元素所在的位置不同

2.特性：最长公共子序列不是唯一的，但最长公共子序列的长度是唯一的

3.那么我们利用这一点，用st[]数组存放，a序列当中每个元素在b序列中出现的顺序，求b的最长LIS

看样例分析

a[]  : 3 2 1 4 5
b[]  : 1 2 3 4 5

st_a : 1 2 3 4 5
st_b : 3 2 1 4 5 

b中的最长上升子序列 ： 1 4 5 

已知a数组是单调递增的，因此在b序列中找到的子序列，一定是a的子序列，

保证当前f[]中存放的是上升子序列的最小结尾值的下标

C++ 代码

//O(nlongn)
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 1e5 + 10;

int n;
int a[N],b[N];
int st[N];  //再a序列当中出现的位置
int f[N];   //当前公共子序列中结尾下标最小的

int main() {
	scanf("%d",&n);
	for(int i = 1; i <= n; i++) {
		scanf("%d",&a[i]);
		st[a[i]] = i;
	}
	for(int i = 1; i <= n; i++) {
		scanf("%d",&b[i]);
	}
	int len = 0;   //一开始为空集

	for(int i = 1; i <= n; i++) {
		int l = 0, r = len;
		if(st[b[i]] > f[len]) f[++len] = st[b[i]];
		else {
			while(l < r) {
				int mid = l + r >> 1;
				if(f[mid] > st[b[i]])   //找第一个大于st[b[i]]的下标
					r = mid;
				else l = mid + 1;
			}
			f[l] = min(f[l],st[b[i]]);   //两者当中取较小的 
		}
	}
     printf("%d",len);
     return 0;
}