[ZJOI2007] 时态同步

题目描述

小 Q 在电子工艺实习课上学习焊接电路板。一块电路板由若干个元件组成，我们不妨称之为节点，并将其用数字 \(1,2,3\cdots\) 进行标号。电路板的各个节点由若干不相交的导线相连接，且对于电路板的任何两个节点，都存在且仅存在一条通路（通路指连接两个元件的导线序列）。

在电路板上存在一个特殊的元件称为“激发器”。当激发器工作后，产生一个激励电流，通过导线传向每一个它所连接的节点。而中间节点接收到激励电流后，得到信息，并将该激励电流传向与它连接并且尚未接收到激励电流的节点。最终，激励电流将到达一些“终止节点”――接收激励电流之后不再转发的节点。

激励电流在导线上的传播是需要花费时间的，对于每条边 \(e\)，激励电流通过它需要的时间为 \(t_e\)，而节点接收到激励电流后的转发可以认为是在瞬间完成的。现在这块电路板要求每一个“终止节点”同时得到激励电路――即保持时态同步。由于当前的构造并不符合时态同步的要求，故需要通过改变连接线的构造。目前小 Q 有一个道具，使用一次该道具，可以使得激励电流通过某条连接导线的时间增加一个单位。请问小 Q 最少使用多少次道具才可使得所有的“终止节点”时态同步？

输入格式

第一行包含一个正整数 \(N\)，表示电路板中节点的个数。

第二行包含一个整数 \(S\)，为该电路板的激发器的编号。

接下来 \(N-1\) 行，每行三个整数 \(a,b,t\)。表示该条导线连接节点 \(a\) 与节点 \(b\)，且激励电流通过这条导线需要 \(t\) 个单位时间。

输出格式

仅包含一个整数 \(V\)，为小 Q 最少使用的道具次数。

样例输入

3
1
1 2 1
1 3 3

样例输出

2

树形DP:

设计状态 \(dp_i\) 为以 \(i\) 为根节点下所用道具的最小次数，此状态不能直接转移。

设计辅助数组 \(val_i\) 表示 \(i\) 节点到以 \(i\) 为根节点的子树中到各个叶子节点的路径的最大值。

\(val\) 数组的转移：

$ val_i = max(val_{to_i} + to_{val} , val_i)$

\(dp\) 数组的转移：

\(dp_i = \sum dp_{to_i} + val_i - (val_{to} + to_{val})\)

其中 \(to_{val}\) 表示 \(i \to to\) 的边权

代码：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<vector>
using namespace std;
#define int long long
const int MAXN = 5e5 + 7;
int n,r;
int x,y;
int dp[MAXN],val[MAXN];
struct NODE{
    int to,val;
};
vector<NODE> tree[MAXN];
void sumup(int pos,int fa){
    for(NODE to : tree[pos]){
        if(to.to != fa){
            sumup(to.to,pos);
            val[pos] = max(val[pos],val[to.to] + to.val);
        }
    }
}
void dfs(int pos,int fa){
    for(NODE to : tree[pos]){
        if(to.to != fa){
            dfs(to.to,pos);
            dp[pos] += dp[to.to] + val[pos] - (val[to.to] + to.val);
        }
    }
}
signed main(){
    scanf("%lld%lld", &n, &r);
    for(int i = 1;i < n;i++){
        int val;
        scanf("%lld%lld%lld", &x, &y, &val);
        tree[x].push_back({y,val});
        tree[y].push_back({x,val});
    }
    sumup(r,0);
    dfs(r,0);
    cout<<dp[r]<<endl;
    return 0;
}