前言
Wolfram Mathematica（简称 MMA），是由 Wolfram Research 开发的科学计算软件。本文我们将介绍 Mathematica 的界面、语法和基本应用。类似的软件还有 MATLAB 和 Maple 等。
MMA 官网：https://www.wolfram.com/mathematica/
MMA 的安装及激活：Mathematica安装激活极简教程 - 科研小飞 (知乎)
本文适合有一定编程基础的读者。当然，如果你不了解编程也没关系，直接跳过相关部分即可。屏幕截图全部来自 Windows 11，Mathematica 13.3。（最新版本 14.0 已经在 2023 年 12 月发布，语法向下兼容）
1. 界面
安装并正确激活 MMA 后，新建笔记本，应该能看到如下的界面：
一张图带你快速熟悉 MMA 的界面：
几个需要注意的点：
- Enter 默认换行，执行代码需要用 Shift+Enter。
- 指令面板左侧的红三角形也可执行代码，灰色的正方形用于终止正在进行的运算。
- MMA 带有 Notebook（笔记本）功能，由于其主要用于计算而不是笔记，本文不详细介绍，若需要使用可自行查阅相关资料。
对于任意输入或输出，按下Ctrl+Shift+I即可显示输入（代码）形式，按下Ctrl+Shift+N即可显示数学形式。后面会对两种显示形式进行详细讲解。
2. 语法
Mathematica 实质是一个 Wolfram Language 的解释器，所以使用它之前必须学习 WL 的语法。
这里介绍基本语法和常用的指令。
2.1 帮助文档
首先来了解帮助文档的使用。输入 ? Solve 来获取 Solve 函数的说明：
? 后面可以跟任何函数名，MMA 会直接在笔记本中输出简化版的帮助文档。可以选择输出右上角的 i 来获取更详细的文档（优先打开离线文档，不存在则默认打开在线文档）。菜单栏中的 “帮助 -> Wolfram 参考资料” 可以打开完整版文档。
2.2 注释
(* 注释 *)
如上，MMA 的注释使用 (* 和 *) 来标注，用法类似于 C/C++ 中的 /* 和 */。注释可以添加在代码的任何位置，它们会被自动忽略。例如：
1 + 1 (*Hello*)
1 + (*World*)1
这两行代码在实际执行中与 1 + 1 无区别：
2.3 括号
在学习 MMA 的函数之前，一定要先学会括号的使用！！
官方参考文档：正确使用括号和大括号
MMA 中共有四种括号，分别为 ()、[]、{} 和 [[]]，具体作用如下：
圆括号 ()
用作对表达式编组和确定运算的优先次序：
方括号 []
表示函数的调用和传参：
大括号 {}
表示列表：
列表的具体使用后续会介绍。
双方括号 [[]]
表示对列表元素的访问，实质是函数 Part 的简写形式：
同样会在后面具体介绍。
2.4 运算与表达式
MMA 支持基本的数学运算，见下表：
| 名称 | 符号形式 | 函数形式 | 数学形式 |
|---|---|---|---|
| 加法 | a + b |
Plus[a, b] |
\(a+b\) |
| 减法 | a - b |
Subtract[a, b] |
\(a-b\) |
| 乘法 | a * b[1] |
Times[a, b] |
\(a\times b\) |
| 除法 | a / b |
Divide[a, b] |
\(\frac ab\) |
| 幂 | a ^ b |
Power[a, b] |
\(a^b\) |
| 模余 | - | Mod[a, b] |
\(a\bmod b\) |
数字和符号都可以参与运算：
表达式是一个或多个运算/函数调用的组合，使用()指定优先级。上图中 4*5、a+a、3 x y/y 都是合法的表达式。
需要注意的是，MMA 只会对输入的表达式进行约分、合并同类项，而不会自动执行需要展开的化简。必要时可以使用 Simplify 或 FullSimplify 函数：
关于函数的使用，后面会详解。
布尔表达式
表达式也可以是等式或不等式：
注意等式用两个等号
==连接，单个等号表示变量赋值。
不等式可以用!=（不等于）、>（大于）、>=（大于等于）、<（小于）、<=（小于等于）连接。!=、>=和<=在输入时会自动转换为相应的数学符号。
这类返回值为 True（真）或 False（假）的表达式，我们统称为布尔表达式。可以用 && 和 || 运算符来连接两个布尔表达式，分别表示“与”“或”，所得结果仍为布尔表达式。
绝大部分布尔表达式都不能自动化简，但可以通过 Simplify、FullSimplify 或 Solve、Reduce 来化简或求解：
2.5 变量与常数
MMA 中，使用 变量名 = 值 的形式来声明或赋值变量：
由上方 10a + 3 的计算结果可知，表达式中所有已声明的变量都会被替换成变量值。变量的声明也可以包含其他变量和符号，此时仍符合变量替换法则：
用于解方程的 Solve 函数没有返回 \(a\) 的解，而是返回 \(x\) 的解，说明表达式在解析时 \(a\) 被自动替换为了 \(x\)。
除此之外，还可以用类似于 Python 的语法，同时赋值多个变量：
{a, b, c} = {1, 2, 3}这行代码可以把变量 \(a,b,c\) 分别赋值为 \(1,2,3\)。
若要取消声明一个变量，可以使用 Clear[变量名]：
在使用 MMA 的过程中，我们会发现某些特定符号不能声明为变量，且有一个固定不变的值。这些是内置常量：
| 常量 | 名称 | 近似值 | 数学形式 |
|---|---|---|---|
Pi |
圆周率 | \(3.141592654\) | \(\pi\) |
E |
自然常数 | \(2.718281828\) | \(\mathrm e\) |
I |
虚数单位 | - | \(i\) |
Infinity |
无穷大 | - | \(\infty\) |
Degree |
度 | - | \(\degree\) |
2.6 函数
在前面的讲解中，我们多次提到函数。现在，让我们详细解读函数的使用。
调用
要调用一个函数，只需输入 函数名[参数1, 参数2, ...] 即可：
对于只有一个参数的函数，可以用 参数 // 函数名 的形式调用。这种形式常用于 Simplify（化简）、FullSimplify（完全简化）和 N（数值运算）的调用：
这种写法的最大优点在于可以链式调用：
定义
说完了函数的调用，再来说说新函数的定义。
MMA 中，定义新函数的语法为 函数名[参数1_, 参数2_, ...] := 返回值。注意每个参数名后面都要加一个下划线（_）。
定义新函数推荐用
:=，但使用=也可行。
拓展 - 定义递归函数
参考下面定义斐波那契数列的格式：
3. 内置函数
MMA 中有将近 \(6000\) 个内置函数[2]，它们都以大写字母开头。下面介绍几种常用的内置函数：
3.1 数值运算 N
数值运算函数 N：
N[expr]给出 \(\mathrm{expr}\) 的数值值N[expr, n]尝试给出具有 \(n\) 位精度的结果
使用示例：
3.2 三角函数
MMA 内置了各类三角函数，它们全部使用习惯名称且首字母大写（Sin、Sinh、ArcSin），这里不一一阐释。
只说一个注意点，MMA 中三角函数的参数默认是弧度，若要使用角度必须加上 Degree 单位：
3.3 解方程和不等式 Solve/Reduce
解方程 Solve：
解不等式用 Reduce：
Reduce 还有更高级的使用，可以约化各种表达式：
这句话说的是：求解 \(a,b\) 的范围，使得存在 \(x\) 满足等式 \(ax=b\)。实际上就是在求解使一元一次方程有解的参数值。注意 Solve 和 Reduce 不一定总返回最简形式的表达式，很多情况下需要手动调用 Simplify 或 FullSimplify 进行化简。感兴趣的读者可以自行测试上面的例子中不使用 Simplify 的返回结果。
3.4 解方程的其他方法 NSolve/FindInstance
NSolve 用法同 Solve，但会返回数值解而不是精确解。相当于 Solve[...] // N。
FindInstance 用法同 Solve，但添加了一个参数表示至多返回解的个数（默认为 \(1\)）：
3.5 极点值 Maximize/Minimize
Minimize 返回函数（在限制条件下）的最小值以及取到最小值的（一种）变量值：
如上图中的示例，Minimize 支持多个变量，可以指定条件，也可指定求解域。
Maximize 用法完全相同，返回最大值，此处略过。
3.6 偏导 D
偏导 D 的两种最常用用法：
D[f, x]给出 \(f\) 关于 \(x\) 的偏导。D[f, {x, n}]给出 \(f\) 关于 \(x\) 的 \(n\) 阶偏导。
示例略。注意 f'[x] 可以直接求出 f[x] 的导数：
3.7 积分 Integrate
积分 Integrate：
Integrate[f, x]给出不定积分 \(\int f~\mathrm{d}x\)。Integrate[f, {x, x_min, x_max}]给出定积分 \(\int_{x_{min}}^{x_{max}} f~\mathrm{d}x\)。Integrate[f, {x, x_min, x_max}, {y, y_min, y_max}, ...]给出多重积分 \(\int_{x_{min}}^{x_{max}} \mathrm{d}x \int_{y_{min}}^{y_{max}} \mathrm{d}y\dots f\)。
一个简单的定积分示例：
3.8 展开 Expand/ExpandAll
Expand 很好理解，Expand[expr] 会展开表达式 \(\mathrm{expr}\) 中的乘积和正整数幂。限于篇幅，这里不提供使用范例，可参考官方文档。
ExpandAll 在 Expand 的基础上，会展开表达式中任意位置的乘积和整数幂。如表达式 Sin[(1 + x)^3]，Expand 不会展开其中的 (1+x)^3，而 ExpandAll 会。
3.9 因式分解 Factor
Factor[poly]：在整数上对一个多项式分解因式。使用示例参考官方文档。
3.10 绘图 Plot/Plot3D
Plot 和 Plot3D 的用法较为复杂，这里只介绍最基本的函数绘图：
两个语句分别绘制：
- \(\sin(x)\) 的图像，其中 \(-2\pi\le x\le 2\pi\)；
- \(\sin(x+y^2)\) 的图像，其中 \(-3\le x\le 3\)，\(-2\le y\le 2\)。
4. 总结
我自己当初学习 MMA 时，被网上杂乱的教程搞得混乱不堪。因此就想写一篇教程，涵盖所有常用语法知识点，并让初学者避开我自己踩的一些坑。
初衷是写个简明的教程，结果一写就是八千多字…… 也感谢认真读到这里的读者们！
后续可能还会更一些用 Mathematica 解决数学和实际问题的文章，敬请期待！
乘法也可简写为
a b（中间必须有空格）。MMA 中，大部分空格可省略，但是乘法的空格不能省略（若写作没有空格的ab会被认为是一个变量）。 ↩︎https://www.wolfram.com/language/fast-introduction-for-programmers/en/built-in-functions/ ↩︎