[ABC293Ex] Optimal Path Decomposition 题解

是一道难得一遇的好题。

对于题目中的两个限制，同时满足是困难的，于是考虑常见的套路：先固定其中一个，再计算另一个。

对于本题，显然 \(k\) 是有单调性的，于是考虑二分这个 \(k\)，将最优性问题转化为可行性问题，dp 路径的最小长度。那么考虑 dp 状态的设计。

对于划分颜色在一条路径上的要求，我们考察每个节点颜色和自己子节点颜色的关系。设 \(dp_{i,j}\) 表示 \(i\) 节点有 \(\le j\) 个和 \(i\) 节点颜色相同的子节点时经过 \(i\) 的最多颜色路径的颜色个数的最小值，那么显然 \(j\le 2\)。那么转移的时候从子节点依次转移，合并 dp 数组计算颜色个数即可。

具体的转移方程见代码：

#include <bits/stdc++.h>
#define N 200005
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;
int n;
struct Node {
	int to, nxt;
} e[N << 1];
int head[N], cnt;
void add(int u, int v) {
	e[++cnt].to = v;
	e[cnt].nxt = head[u];
	head[u] = cnt;
}
int dp[N][3];
int k;
void dfs(int x, int fa) {
	dp[x][0] = dp[x][1] = dp[x][2] = 1;
	for (int i = head[x]; i; i = e[i].nxt) {
		int y = e[i].to;
		if (y == fa)
			continue;
		dfs(y, x);
		int f[3] = {inf, inf, inf};
		if (dp[x][0] + dp[y][2] <= k)
			f[0] = min(f[0], max(dp[x][0], dp[y][2] + 1));
		if (dp[x][0] + dp[y][1] <= k + 1)
			f[1] = min(f[1], max(dp[x][0], dp[y][1]));
		if (dp[x][1] + dp[y][2] <= k)
			f[1] = min(f[1], max(dp[x][1], dp[y][2] + 1));
		if (dp[x][1] + dp[y][1] <= k + 1)
			f[2] = min(f[2], max(dp[x][1], dp[y][1]));
		if (dp[x][2] + dp[y][2] <= k)
			f[2] = min(f[2], max(dp[x][2], dp[y][2] + 1));
		dp[x][0] = f[0];
		dp[x][1] = min(dp[x][0], f[1]);
		dp[x][2] = min(dp[x][1], f[2]);
	}
}
int main() {
	cin >> n;
	for (int i = 1; i < n; i++) {
		int x, y;
		scanf("%d%d", &x, &y);
		add(x, y);
		add(y, x);
	}
	int l = 1, r = n, ans = 0;
	while (l <= r) {
		k = (l + r) >> 1;
		dfs(1, 0);
		if (dp[1][2] <= k)
			ans = k, r = k - 1;
		else
			l = k + 1;
	}
	cout << ans << "\n";
	return 0;
}