1、时间复杂度
1.1 大O渐进表示法
大O符号（Big O notation）：是用于描述函数渐进行为的数学符号。
推导大O阶方法：
-
用常数1取代运行时间中的所有加法常数。
-
在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。
-
如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶。
另外有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况，在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况。
1.2 常见时间复杂度计算举例
1.2.1 计算strchr的时间复杂度
const char * strchr ( const char * str, int character );1.2.2 计算BinarySearch的时间复杂度
int BinarySearch(int* a, int n, int x)
{
assert(a);
int begin = 0;
int end = n-1;
while (begin < end)
{
int mid = begin + ((end-begin)>>1);
if (a[mid] < x)
begin = mid+1;
else if (a[mid] > x)
end = mid;
else
return mid;
}
return -1;
}1.2.3 计算斐波那契递归Fib的时间复杂度
long long Fib(size_t N)
{
if(N < 3)
return 1;
return Fib(N-1) + Fib(N-2);
}解析：
第一题：
strchr找到字符串中第一个出现的字符
执行最好1次，最坏N次，时间复杂度一般看最坏，所以时间复杂度为 O(N)
第二题：
初始搜索空间：一开始，搜索范围包含整个数组，即 n 个元素。
每次迭代：在每轮循环中，算法都会计算中间位置 mid ，并将搜索空间减半。
搜索空间的减少速率：由于每次迭代都会将搜索范围缩小一半，搜索空间的大小经过一次迭代后变为原来的一半。因此，经过 k 次迭代后，搜索空间的大小变为
。
终止条件：当搜索空间缩小到只剩下一个元素或没有元素时，循环终止。此时，
，即
。将等式两边取对数，得到
。（这里用到了对数函数的知识：
（a>0，且a≠1），记作
， ）
因此，二分查找的总体时间复杂度为 O(log n)。这里的对数是以2为底的，但在大O表示法中，底数通常被省略，因为不同底数的对数函数相差一个常数倍数，而大O表示法忽略常数因子和低阶项。
第三题：
所以时间复杂度为
。
2、空间复杂度
空间复杂度也是一个数学表达式，是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度 。
空间复杂度不是程序占用了多少bytes的空间，因为这个也没太大意义，所以空间复杂度算的是变量的个数。空间复杂度计算规则基本跟时间复杂度类似，也使用大O渐进表示法。
注意：函数运行时所需要的栈空间(存储参数、局部变量、一些寄存器信息等)在编译期间已经确定好了，因此空间复杂度主要通过函数在运行时候显式申请的额外空间来确定。
2.1 计算BubbleSort的空间复杂度
void BubbleSort(int* a, int n)
{
assert(a);
for (size_t end = n; end > 0; --end)
{
int exchange = 0;
for (size_t i = 1; i < end; ++i)
{
if (a[i - 1] > a[i])
{
Swap(&a[i - 1], &a[i]);
exchange = 1;
}
}
if (exchange == 0)
break;
}
}2.2 计算Fibonacci的空间复杂度
long long* Fibonacci(size_t n)
{
if(n==0)
return NULL;
long long * fibArray = (long long *)malloc((n+1) * sizeof(long long));
fibArray[0] = 0;
fibArray[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n ; ++i)
{
fibArray[i] = fibArray[i - 1] + fibArray [i - 2];
}
return fibArray;
}2.3 计算阶乘递归Fac的空间复杂度
long long Fac(size_t N)
{
if(N == 0)
return 1;
return Fac(N-1)*N;
}解析：
第一题：使用了常数个额外空间，所以空间复杂度为 O(1)
第二题：动态开辟了N个空间，空间复杂度为 O(N)
第三题：递归调用了N次，开辟了N个栈帧，每个栈帧使用了常数个空间（由于没有额外的局部变量，主要占用的是参数和返回值）。所以空间复杂度为O(N)
3、复杂度练习
3.1 消失的数字
面试题 17.04. 消失的数字 - 力扣（LeetCode）
https://leetcode.cn/problems/missing-number-lcci/description/
//方法一：异或，时间复杂度为O(N)
int missingNumber(int* nums, int numsSize)
{
int x = 0;
//第一次for循环
for (int i = 0; i < numsSize; i++)
{
x ^= nums[numsSize];
}
//第二次for循环
for (int i = 0; i < numsSize + 1; i++)
{
x ^= i;
}
return x;
}我们拿[9,6,4,2,3,5,7,0,1]举例：（numsSize = 9）
第一次for循环：0^9^6^4^2^3^5^7^0^1
第二次for循环：上一次的结果^0^1^2^3^4^5^6^7^8^9
因为异或的规则是：两个相同的数字异或结果为0，0异或上任何数都为0，所以最后的结果就是只出现了一次的8。
//方法二：0-N等差数列公式计算，减数组中的值，时间复杂度为O(N)
int missingNumber(int* nums, int numsSize)
{
int x = (1 + numsSize) * numsSize / 2;
for (int i = 0; i < numsSize; i++)
{
x -= nums[i];
}
return x;
}我们拿[9,6,4,2,3,5,7,0,1]举例：（numsSize = 9）
x = (1+9)*9/2
for循环中：x-9-6-4-2-3-5-7-0-1，结果为8
3.2 轮换数组
189. 轮转数组 - 力扣（LeetCode）https://leetcode.cn/problems/rotate-array/
//方法一：三段逆置，时间复杂度O(N)，空间复杂度O(1)
void reverse(int* a, int left, int right)
{
while (left < right)
{
int tmp = a[left];
a[left] = a[right];
a[right] = tmp;
left++;
right--;
}
}
void rotate(int* nums, int numsSize, int k)
{
if (k > numsSize)
k %= numsSize;
reverse(nums, 0, numsSize - k - 1);
reverse(nums, numsSize - k, numsSize - 1);
reverse(nums, 0, numsSize - 1);
}我们拿nums = [1,2,3,4,5,6,7], k = 3举例：
第一次逆置：4,3,2,1,5,6,7
第二次逆置：4,3,2,1,7,6,5
第三次逆置：5,6,7,1,2,3,4
//方法二：以空间换时间时间复杂度O(N)，空间复杂度O(N)
void rotate(int* nums, int numsSize, int k)
{
if (k > numsSize)
k %= numsSize;
int* tmp = (int*)malloc(sizeof(int) * numsSize);
memcpy(tmp, nums + numsSize - k, sizeof(int) * k);
memcpy(tmp + k, nums, sizeof(int) * (numsSize - k));
memcpy(nums, tmp, sizeof(int) * numsSize);
free(tmp);
tmp = NULL;
}标签：numsSize,nums,int,复杂度,long,空间,数据结构 From： https://blog.csdn.net/Lumos_yyyx/article/details/141872408我们拿nums = [1,2,3,4,5,6,7], k = 3举例：
第一次memcpy：tmp为5,6,7
第二次memcpy：tmp为5,6,7,1,2,3,4
第三次memcpy：nums为5,6,7,1,2,3,4