一些约定：
- 字符串下标从1开始
- s[1,i]表示S的第一个到第i个字符组成的字符串
解决的题型：
给你两个字符串A,B（A.size()=n,B.size()=m）,求p数组
p[i]表示最大的len使得A[i,i+len-1]=B[1,len]
即A的第i位与B前缀的最大匹配的长度
比如;
A:aaaabaa
B:aaaa
p数组就是{4 3 2 1 0 2 1}
算法实现
- 我们要先求一个关于B的z数组,一些定义：
-
z[i]表示最大的len使得B[1,len]=B[i,i+len-1]，比如对于B:aabcaabd z[5]=3, 一开始z[1]=m
-
Z-box:表示一段区间,用两个变量l,r表示，它表示目前为止B中右端点最大的一个区间[l,r]满足，B[l,r]=B[1,r-l+1] (即这段区间与它等长度的前缀相同)，一开始l=r=0,在循环求解z数组的过程中不断更新
知道了一些定义我们就来看z数组怎么求
假设我们已经得出z[1]~z[i-1]了要求z[i]，且目前的Z-box=[l,r]
（1） \(l \le i \le r\) 如下图
(实际上如果\(i \le r\) , i一定满足\(l \le i \le r\) ,因为我们是用1~i-1去更新l的)
r’表示r-l+1,则B[1,r’]=B[l,r] (为了下面叙述方便，我们称r’为r的对应点) 相同颜色代表这段区间相同
我们再求出i的对应点i’=i-l+1,则B[i’,r’]=B[i,r]
假设z[i’]=len 则B[1,len]=B[i’,i’+len-1],现在有两种情况
-
\(len \le r-i+1\)：此时\(B[1,len]=B[i’,i’+len-1]=B[i,i+len-1]\)
则z[i]=len
-
而如果 \(len>r-i+1\),如下图
我们无法确定绿色部分是否相同，因此不能直接把len赋给z[i],但我们可以保证z[i]>=r-i+1,r后面的部分暴力扫描即可
(2)\(i>r\) 同样也是暴力往后扫描即可
注意：每次求完z[i]后如果i+z[i]-1>r 则用i和i+z[i]-1更新l,r
求z数组的代码如下
z[1]=m,l=0,r=0;
for(int i=2;i<=m;i++)
{
if(i<=r) z[i]=min(z[i-l+1],r-i+1);
while(b[i+z[i]]==b[1+z[i]]) z[i]++; //如果i>r那这里z[i]一开始是0
if(i+z[i]-1>r) r=i+z[i]-1,l=i;
}
2.求解p数组过程差不多
这里的[l,r]表示最大的一段区间满足a[l,r]=b[1,r-l+1]
一开始，l=0,r=0
外层循环i从1到n (这里p[1]不用赋初值)
(1) \(l \le i \le r\) , 令i’=i-l+1,r’=r-l+1,len=z[i']:
- ① \(len \le r-i+1\),则B[1,len]=B[i’,i’+len-1]=A[i,i+len-1],所以p[i]=len
- \(len>r-i+1\),超出部分暴力扫描
(2) \(i>r\),暴力扫描
记得更新l,r
求解p数组代码
l=0,r=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
if(i<=r) p[i]=min(z[i-l+1],r-i+1);
while(a[i+p[i]]==b[1+p[i]]&&i+p[i]<=n&&1+p[i]<=m) p[i]++;
//注意这里要判断边界
if(i+p[i]-1>r) r=i+p[i]-1,l=i;
}
最后放上一道板题
Code:
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N=2e7+5;
inline int read(){
int w = 1, s = 0;
char c = getchar();
for (; c < '0' || c > '9'; w *= (c == '-') ? -1 : 1, c = getchar());
for (; c >= '0' && c <= '9'; s = 10 * s + (c - '0'), c = getchar());
return s * w;
}
char a[N],b[N];
int n,m;
string s1,s2;
int z[N],p[N];
int l,r;
int ans1,ans2;
signed main()
{
cin>>s1>>s2;
n=s1.size(),m=s2.size();
for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=s1[i-1];
for(int i=1;i<=m;i++) b[i]=s2[i-1];
z[1]=m,l=0,r=0;
for(int i=2;i<=m;i++){
if(i<=r) z[i]=min(z[i-l+1],r-i+1);
while(b[i+z[i]]==b[1+z[i]]) z[i]++;
if(i+z[i]-1>r) r=i+z[i]-1,l=i;
}
for(int i=1;i<=m;i++){
ans1^=(z[i]+1)*i;
}
l=0,r=0;
for(int i=1;i<=n;i++){
if(i<=r) p[i]=min(z[i-l+1],r-i+1);
while(a[i+p[i]]==b[1+p[i]]&&i+p[i]<=n&&1+p[i]<=m) p[i]++;
//注意这里要判断边界
if(i+p[i]-1>r) r=i+p[i]-1,l=i;
}
for(int i=1;i<=n;i++){
ans2^=(p[i]+1)*i;
}
printf("%lld\n%lld\n",ans1,ans2);
return 0;
}