模板2

字符串

KMP

nxt[i]： $b[1:i]$ 的最长 border $b[1:nxt_i]$，且 $nxt_i<i$。

void init(){
    int p=0;
    F(i,2,m){
        while(p&&b[p+1]!=b[i]) p=nxt[p];//p+1 尝试与 i 匹配
        if(b[p+1]==b[i]) p++;
        nxt[i]=p;
    }
}
void kmp(){
    int p=0;
    F(i,1,n){
        while(p&&(p==m||b[p+1]!=a[i]) p=nxt[p];//p==m
        if(b[p+1]==a[i]) p++;
        f[i]=p;
    }
}

Z 函数

$z_1=0$。

z[i]：$b[i:n]$ 与 b 的 LCP 长度。

void z_init(){
    z[1]=0;//
    for(int i=2,l=0,r=0;i<=m;i++){
        if(i>r) z[i]=0;
        else z[i]=min(z[i-l+1],r-i+1);
        while(i+z[i]<=m&&b[1+z[i]]==b[i+z[i]]) z[i]++;
        if(i+z[i]-1>r) l=i,r=i+z[i]-1;
    }
}
void z_alg(){
    for(int i=1,l=0,r=0;i<=n;i++){
        if(i>r) p[i]=0;
        else p[i]=min(z[i-l+1],r-i+1);
        while(i+p[i]<=n&&b[1+p[i]]==a[i+p[i]]) p[i]++;
        if(i+p[i]-1>r) l=i,r=i+p[i]-1;
    }
}

Manacher

p[i]：以 $i$ 为中心的最长回文半径。$[i-p_i+1,i+p_i+1]$ 为回文串。

void init(){
    int m=0;
    s[++m]='#';//s[0]='(',s[1]='#'
    F(i,1,n) s[++m]=a[i],s[++m]='#';
    s[0]='(';s[m+1]=')';
}
void manacher(){
    p[1]=1;
    for(int i=2,k=1;i<=m;i++){//k=1，当前最优端点属于 1 的回文串
        if(i>k+p[k]-1) p[i]=1;
        else p[i]=min(k+p[k]-i,p[2*k-i]);
        while(s[i-p[i]]==s[i+p[i]]) p[i]++;
        if(i+p[i]>k+p[k]) k=i;
    }
}

AC自动机

fail：指向某状态所表示的字符串的最长后缀。

//AC
struct node{
    int trs[26],fail;
}t[N];
int tot=1;//p=1 is used
void ins(){
    int p=1;
    F(i,1,n){
        int c=s[i]-'a';
        if(!t[p].trs[c]) t[p].trs[c]=++tot;
        p=t[p].trs[c];
    }
}
void bd(){
    F(i,0,25) t[0].trs[i]=1;
    t[1].fail=0;
    
    queue<int>q;
    q.push(1);
    while(!q.empty()){
        int u=q.front();q.pop();
        F(i,0,25){
            int &v=t[u].trs[i];//&v
            if(v) t[v].fail=t[t[u].fail].trs[i],q.push(v);
            else v=t[t[u].fail].trs[i];
        }
    }
}

SA

//SA
int m=256;
int sa[N],rk[N],tmp_rk[N],id[N],ct[N],px[N],ht[N];
bool same(int x,int y,int k){
    int p=x+k<=n?tmp_rk[x+k]:-1,
        q=y+k<=n?tmp_rk[y+k]:-1;
    return tmp_rk[x]==tmp_rk[y]&&p==q;
}
void init(){
    F(i,1,n) rk[i]=s[i];
    F(i,1,n) ct[rk[i]]++;
    F(i,1,m) ct[i]+=ct[i-1];
    for(int i=n;i>=1;i--) sa[ct[rk[i]]--]=i;
    
    for(int k=1,p=0;k<n;k<<=1,m=p){
        p=0;
        F(i,n-k+1,n) id[++p]=i;
        F(i,1,n)if(sa[i]>k) id[++p]=sa[i]-k;
        
        F(i,0,m) ct[i]=0;
        F(i,1,n) ct[px[i]=rk[id[i]]++;
        F(i,1,m) ct[i]+=ct[i-1];
        for(int i=n;i>=1;i--) sa[ct[px[i]]--]=id[i];
        
        F(i,1,n) tmp_rk[i]=rk[i];
        p=0;
        F(i,1,n) rk[sa[i]]=same(sa[i],sa[i-1],k)?p:++p;//
    }
    for(int i=1,h=0;i<=n;i++){
        if(h) h--;
        int j=sa[rk[i]-1];
        while(s[i+h]==s[j+h]) h++;
        ht[rk[i]]=h;//
    }
}

SAM

//SAM
const int SZ=N<<1;
int tot=1,las=1;
struct node{
    int trs[26],lk,mxl;
}t[SZ];
void extend(int c){
    int p=las,np=las=++tot;
    t[np].mxl=t[p].mxl+1;
    
    for(;!t[p].trs[c];p=t[p].lk) t[p].trs[c]=np;
    if(!p) t[np].lk=1;
    else{
        int q=t[p].trs[c];
        if(t[q].mxl==t[p].mxl+1) t[np].lk=q;
        else{
            int nq=++tot;t[nq]=t[q];
            t[nq].mxl=t[q].mxl+1;
            t[q].lk=t[np].lk=nq;
            for(;t[p].trs[c]==q;p=t[p].lk) t[p].trs[c]=nq;
        }
    }
}

数论

拉格朗日插值

==求点值==：

$O(n^2)$。

int lag(int k){
    ll ans=0;
    F(i,1,c+1){
        ll p=1,q=1;
        F(j,1,c+1)if(i^j){
            p=p*(k-x[j])%mod;
            q=q*(x[i]-x[j])%mod;
        }
        ans=(ans+p*inv(q)%mod*y[i])%mod;//y[i]
    }
    return (ans+mod)%mod;
}

==已知的横坐标连续时求点值==：

$O(n)$。

int lag(int k){
    if(k<=c+1) return y[k];
    
    pre[0]=1;
    F(i,1,c+1) pre[i]=pre[i-1]*(k-i)%mod;
    suf[c+1+1]=1;
    for(int i=c+1;i>=1;i--) suf[i]=suf[i+1]*(k-i)%mod;
    
    F(i,1,c+1){
        ll val=pre[i-1]*suf[i+1]%mod*ifac[i-1]%mod*ifac[c+1-i]%mod*y[i]%mod;
        if(val<0) val+=mod;
        if((c+1-i)&1) dec(ans,val);
        else add(ans,val);
    }
    return ans;
}

==横坐标连续时求系数==：

$O(n^2)$。

void calc(int *f,int *g,int n){
	h[0]=1;
	F(i,1,n+1) for(int j=i;j>=0;j--)
		h[j]=((j?h[j-1]:0)+(mod-h[j])*i)%mod;
	F(i,1,n+1){
		memcpy(tmp,h,sizeof(tmp));
		F(j,0,n+1)
			tmp[j]=((j?tmp[j-1]:0)-tmp[j]+mod)*inv[i]%mod;
		int sum=g[i];
		F(j,1,n+1)if(j^i)
			sum=sum*(i>j:inv[i-j]:mod-inv[j-i])%mod;
		F(j,0,n) f[j]=(f[j]+sum*tmp[j])%mod;
	}
}

子集DP

for (int i = 0; i < m; i ++)
    for (int S = 0; S < (1 << m); S ++)
        if (S >> i & 1) // f[S] <- f[S ^ (1 << i)]

线性筛素数

int pClock, prime[N], fac[N];

void sieve(const int &N) {
	for (int i = 2; i <= N; i ++) {
		if (!fac[i]) fac[i] = i, prime[++ pClock] = i;
		for (int j = 1; j <= pClock; j ++) {
			if (prime[j] > fac[i] || prime[j] > N / i) break;
			fac[i * prime[j]] = prime[j];
		}
	}
}

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