数据结构—堆

一、树的概念及及结构

在我们学习堆时，首先要了解树，因为堆其实是一种特殊树。在数据结构中，树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。像下面图一样：

每一个树都有一个特殊的结点如上图A表示的称为根结点，根结点没有前驱结点。

除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i<= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继，因此，树是递归定义的。

注意：子树之间不能有交集，否则就不是树型结构

1. 树的相关概念

节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度；如上图：A的为6
叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点；如上图：B、C、H、I...等节点为叶节点
非终端节点或分支节点：度不为0的节点；如上图：D、E、F、G...等节点为分支节点
双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点；如上图：A是B的父节点
孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点；如上图：B是A的孩子节点
兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点；如上图：B、C是兄弟节点
树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度；如上图：树的度为6
节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；
树的高度或深度：树中节点的最大层次；如上图：树的高度为4
堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟节点
节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先
子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙
森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林

2. 树的表示

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，既然保存值域，也要保存结点和结点之间的关系，实际中树有很多种表示方式如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。

typedef int DataType;
struct Node
{
struct Node* _firstChild1; // 第一个孩子结点
struct Node* _pNextBrother; // 指向其下一个兄弟结点
DataType _data; // 结点中的数据域
};

如下图所示：

二、二叉树的概念及结构

1. 二叉树的概念

二叉树是结点为有限的集合，该结点要么为空，要么由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成。

注意：二叉树不存在度大于二的结点，二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树。

对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：

2. 特殊的二叉树

1. 满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是2^k-1 ，则它就是满二叉树。
2. 完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

3. 二叉树的性质

1. 若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有 $2^{i-1}$ 个结点。
2. 若规定根节点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是 $2^{h}-1$ 。
3. 对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为N0 , 度为2的分支结点个数为N2 ,则有N0＝ N2＋1
4. 若规定根节点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度，h= $\log_2{}(n+1)$ 。
5. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：

若i>0，i位置节点的双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根节点编号，无双亲节点
若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，2i+1>=n否则无左孩子
若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，2i+2>=n否则无右孩子

三、堆

1. 概念及结构

如果有一个关键码的集合K = { $K_{0}$ ， $K_{1}$ ， $K_{2}$ ，…， $K_{n-1}$ }，把它的所有元素按完全二叉树的顺序存储方式存储在一个一维数组中，并满足： $K_{i}$ <= $K_{2*1+1}$ 且 $K_{i}$ <= $K_{2*i+2}$ ( $K_{i}$ >= $K_{2*i+1}$ 且 $K_{i}$ >= $K_{2*i+2}$ ) i = 0，1，2…，则称为小堆(或大堆)。将根节点最大的堆叫做大堆或大根堆，根节点最小的堆叫做小堆或小根堆。
堆的性质：
堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值；
堆总是一棵完全二叉树。

二叉树的存储可以采用顺序存储也可也采用链式存储，对于普通的二叉树而言是不适合采用顺序存储的因为会浪费大量空间，但是完全二叉树就不一样非常适合用数组这样的顺序存储结构来存储数据，接下里就来看看用数组存储的优势。

2. 堆的实现

本次实现的是大堆的演示，要实现的接口：

2.1 初始化和销毁

void HPInit(HP* php)
{
	assert(php);
	php->data = (HPDataType*)malloc(sizeof(HPDataType) * 6);
	if (NULL == php->data)
	{
		perror("malloc fail");
		return;
	}
	php->capacity = 4;
	php->size = 0;
}

void HPDestroy(HP* php)
{
	assert(php);
	free(php->data);
	php->capacity = php->size = 0;
}

因为我们是利用数组来实现的堆，所以初始化过程中我们会申请一片连续的空间来存放数据，销毁时也直接释放掉这片空间即可。

2.2 堆的插入（创建堆）

堆是通过数组存放数据，那当我们往数组中添加数据后，如何构建成堆呢？

下面我们通过往数组里依次添加1,5,3,8,7,6来演示堆的构建

插入1：

插入5:

插入3：

插入8：

插入7：

插入6：

由上图分析可知，每当在数组末尾插入一个数都要与他的父节点相比较如果插入的数比父节点还大则需要往上调整交换两个数的位置，直到该数比父节点小或者到达根结点。

实现代码如下：

void HPPush(HP* php, HPDataType x)
{
	assert(php);
	if (php->capacity == php->size)//空间满了就扩容
	{
		HPDataType* temp = (HPDataType*)realloc(php->data, sizeof(HPDataType) * php->capacity * 2);
		if (NULL == temp)
		{
			perror("realloc fail");
			return;
		}
		php->data = temp;
		php->capacity *= 2;
	}
	php->data[php->size] = x;
	php->size++;
	AdjustUp(php->data,php->size-1);
}

向上调整算法：

void Swap(HPDataType* x, HPDataType* y)
{
	HPDataType temp = *x;
	*x = *y;
	*y = temp;
}

void AdjustUp(HPDataType* data, int n)
{
	int child = n;
	int parent = (n - 1) / 2;
	while ( parent >=0 && data[child] > data[parent])
	{
		Swap(&data[child], &data[parent]);
		child = parent;
		parent = (child - 1) / 2;
	}
}

2.3 堆的删除

当我们需要删除堆元素时应该从根结点删除，如果从最后一个叶子结点删除则没有意义。但是如果直接删除根结点，那让数组中第二个元素重新作为根结点那整个堆的结构就会被破坏的很乱，例如某一结点的兄弟结点直接成为自己的父亲结点，那怎么删除才能避免这种情况呢？

接下来我们通过上面构建成功的堆来演示每删除。

下面删除一个数据的演示图：

删除堆是删除堆顶的数据，将堆顶的数据根最后一个数据一换，然后删除数组最后一个数据，再进行向下调整算法。

实现代码如下：

void HPPop(HP* php)
{
	assert(php);
	if (HPEmpty(php)) //如果堆的数据为空则不能删除
	{
		return;
	}
	Swap(&php->data[0], &php->data[php->size-1]);  //交换堆顶和最后一个元素
	php->size--;  //删除该元素
	AdjustDown(php->data,php->size-1,0); //向下调整
}

向下调整算法：

void AdjustDown(HPDataType* data, int n, int parent)
{
	int child = parent * 2 + 1;
	while ( child < n && data[parent] < data[child])     //建大堆
	{
		if ( child+1 < n && data[child + 1] > data[child])
		{
			child = child + 1;
		}

		Swap(&data[parent], &data[child]);
		parent = child;
		child= parent * 2 + 1;
	}
}

2.4 剩下代码的实现：

//取堆顶元素
HPDataType HPTop(HP* php)
{
	assert(php);
	if (!HPEmpty(php))
	{
		return php->data[0];
	}
	else
	{
		return 0;
	}
}
//是否为空
bool HPEmpty(HP* php)
{
	assert(php);
	return php->size == 0;
}
//堆的大小
int HPSize(HP* php)
{
	assert(php);

	return php->size;
}

以上就是树的相关介绍和堆的实现过程。

标签：结点,php,二叉树,child,数据结构,data,节点
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